Question

如圖所示，在同一平面內放置的三條光滑平行足夠長金屬導軌a、b、c構成一個斜面，此斜面與水平面的夾角θ=30°，金屬導軌相距均為d=1m，導軌ac間橫跨一質量為m=0.8kg的金屬棒MN，棒與每根導軌始終良好接觸，棒的電阻r=1Ω，導軌的電阻忽略不計．在導軌bc間接一電阻恒為R=2Ω的燈泡，導軌ac間接一電壓傳感器（相當于理想電壓表）．整個裝置放在磁感應強度B=2T的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌平面向上．現對棒MN施加一沿斜面向下的拉力F使棒從靜止開始運動，g取10m/s²．試求：（1）若施加的恒力F=2N，則金屬棒達到穩定時速度為多少？（2）若施加的外力功率恒定，棒達到穩定時速度為4m/s，則此時外力的功率和電壓傳感器的讀數分別為多少？（3）若施加的外力功率恒為P，經歷時間為t，棒沿斜面軌道下滑距離為s、速度達到v₃，則此過程中燈泡產生的熱量為多少？

Answer 1

分析：（1）金屬棒達到穩定時速度時做勻速直線運動，合力為零．由歐姆定律、感應電動勢和安培力公式推導出安培力與速度的關系，根據平衡條件即可求出金屬棒達到穩定時的速度．
（2）若施加的外力功率恒定，棒達到穩定時速度為4m/s，由感應電動勢公式和歐姆定律求出此時的感應電流，根據平衡條件求出外力的功率．由歐姆定律求出電壓電壓傳感器的讀數．
（3）棒沿斜面軌道下滑距離為s，棒的重力勢能減小，外力F做功提供能量Pt，轉化為燈泡和金屬棒的內能以及金屬棒的動能，根據能量守恒定律列式可求出燈泡產生的熱量．

解答：解：（1）設穩定時速度為v₁，當金屬棒速度達到穩定時，合力F_合=0，即有
    F+mgsinθ-F_A=0
又金屬棒所受的安培力大小F_A=BId，I=

Bdv1

R+ r 2

聯立得 v₁=

(F+mgsinθ)(R+ r 2 )

B2d2

代入解得，v₁=3.75m/s
（2）若施加的外力功率恒定，棒達到穩定時速度為4m/s，此時電路中電流為 I₂=

Bdv2

R+ r 2

=

2×1×4

2.5

A=3.2A
外力的大小為F_外=

P

v2

，根據平衡條件則有
  

P

v2

+mgsinθ=BI₂d
代入解得，P=9.6W
燈泡兩端的電壓為U_L=I₂R=3.2×2V=6.4V，故電壓傳感器的讀數為U=U_L+Bdv₂=14.4V
（3）設此過程中燈泡和金屬桿產生的熱量分別為Q₁和Q₂．根據能量守恒定律得
  Pt+mgsinθ=Q₁+Q₂+

1

2

m

v

2 3

由于通過燈泡和金屬桿的電流時刻相等，根據焦耳定律Q=I²Rt知，兩者產生的熱量與電阻成正比，則有
   Q₁：Q₂=R：

r

2

=4：1
則解得，Q₁=

4Pt+2mgs-2m v 2 3

5

答：（1）若施加的恒力F=2N，則金屬棒達到穩定時速度為3.75m/s；
（2）若施加的外力功率恒定，棒達到穩定時速度為4m/s，外力的功率和電壓傳感器的讀數分別為9.6W和14.4V．
（3）此過程中燈泡產生的熱量為

4Pt+2mgs-2m v 2 3

5

．

點評：本題是電磁感應、電路和力學知識的綜合，分別從力和能量兩個角度進行研究．第3問要焦耳定律分析燈泡和金屬棒的熱量關系．