Question

如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個小球夾住，但不栓接．同時釋放兩小球，a、b球恰好能通過各自的圓軌道的最高點．（1）已知小球a的質量為m，求小球b的質量；
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都還能夠通過各自的最高點，則彈簧在釋放前至少具有多大的彈性勢能？

Answer 1

分析：（1）根據牛頓第二定律得出最高點的速度，根據機械能守恒定律列出等式求解
（2）由動量守恒定律得出速度關系，根據機械能守恒定律求解．

解答：解：（1）根據牛頓第二定律得a、b球恰好能通過各自的圓軌道的最高點的速度分別為：
v′_a=

gR

…①
v′_b=

gr

…②
由動量守恒定律mv_a=m_bv_b…③
根據機械能守恒定律得：

1

2

mv

2 a

=

1

2

mv′

2 a

+mg?2R…④

1

2

mv

2 b

=

1

2

mv′

2 b

++m_bg?2r…⑤
聯立①②③④⑤得：

m

mb

=

r R

即：m_b=m

R r

（2）若m_a=m_b=m，由動量守恒定律得：v_a=v_b=v
當b球恰好能通過圓軌道的最高點時，E_彈最小，
根據機械能守恒得：
E_p=[

1

2

m（

gR

）²+mg?2R]×2=5mgR
答：（1）小球b的質量為m

R r

；
（2）若m_a=m_b=m，且要求a、b都還能夠通過各自的最高點，則彈簧在釋放前至少具有5mgR的彈性勢能．

點評：解決該題關鍵能判斷出小球能通過最高點的條件，然后根據動量守恒定律和機械能守恒定律聯立列式求解．