Question

【題目】如圖所示的豎直平面內，相距為d的不帶電平行金屬板M、N水平固定放置，與燈泡L、開關S組成回路并接地，上極板M與其上方空間的D點相距h，燈泡L的額定功率與電壓分別為PL、UL。帶電量為q的小物體以水平向右的速度v0從D點連續發射，落在M板其電荷立即被吸收，M板吸收一定電量后閉合開關S，燈泡能維持正常發光。設小物體視為質點，重力加速度為g，金屬板面積足夠大，M板吸收電量后在板面均勻分布，M、N板間形成勻強電場，忽略帶電小物體間的相互作用。

（1）初始時帶電小物體落在M板上的水平射程為多少？

（2）單位時間發射小物體的個數為多少？

（3）閉合開關S后，帶電粒子Q以水平速度從勻強電場左側某點進入電場，并保持速度穿過M、N板之間。現若在M、N板間某區域加上方向垂直于紙面的勻強磁場，使Q在紙面內無論從電場左側任何位置以某水平速度進入，都能到達N板上某定點O，求所加磁場區域為最小時的幾何形狀及位置。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）磁場的最小區域為圓，半徑為；圓心為距0點的板間中心處．

【解析】

試題分析：（1）由題意知，在初始時M板不帶電，帶電小球在空間做平拋運動，設小物體到達M板時間為t1，水平射程為l1，則有：h=gt12；l1=v0t1

聯立解是：；

（2）燈泡正常發光，金屬板M、N間的電壓為UL，由電容器原理可知，金屬板M、N所帶電量為定值，這時落到板M的電量全部流過燈泡，設流過燈泡的電流為IL，在時間t內流過燈泡的電量為QL，有：

PL=ILUL QL=ILt

設單位時間內發射小球的個數為n，則有：QL=nqt

聯立以上各式解得：；

（3）閉合開關S后，M、N板間為勻強電場，Q進入后速度不變，則說明Q所受電場力與重力平衡，再進入磁場區域必做勻速圓周運動，以O點為坐標原點建立如圖直角價坐標系xOy，

Q進入板間做勻速直線運動，設Q做勻速圓周運動的圓心為0，半徑為r，OC與水平方向的夾角為θ，G點的坐標為（x，y），有x=-rcosθ； y=r+rsinθ

聯立得：x2+（y-r）2=r2

則可知磁場在y軸左邊的邊界為半圓，要讓該圓為量小，必有：

Q靠近M板進入磁場時做勻速圓周運動的軌跡為y軸右邊的半圓，其方程為：

x2+（y-）2=（）2

Q從其它位置進入磁場做勻速圓周運動的軌跡不會超過y軸與此圓所圍區域，故磁場在y軸右邊區域最小的邊界也為該半圓，則磁場的最小區域為圓，半徑為；圓心為距0點的板間中心處．