Question

（2011?安徽模擬）如圖所示，一水平直軌道CF與半徑為R的半圓軌道ABC在C點平滑連接，AC在豎直方向，B點與圓心等高．一輕彈簧左端固定在F處，右端與一個可視為質點的質量為m的小鐵塊甲相連．開始時，彈簧為原長，甲靜止于D點．現將另一與甲完全相同的小鐵塊乙從圓軌道上B點由靜止釋放，到達D點與甲碰撞，并立即一起向左運動但不粘連，它們到達E點后再返回，結果乙恰回到C點．已知CD長為L₁，DE長為L₂，EC段均勻粗糙，ABC段和EF段均光滑，彈簧始終處于彈性限度內．
（1）求直軌道EC段與物塊間動摩擦因素．
（2）要使乙返回時能通過最高點A，可在乙由C向D運動過程中過C點時，對乙加一水平向左恒力，至D點與甲碰撞前瞬間撤去此恒力，則該恒力至少多大？

Answer 1

分析：（1）對于乙，從B到D過程，運用動能定理可求得與甲碰撞前的速度．兩物體碰撞過程，遵守動量守恒，能求出碰后的共同速度．甲乙從D到E再回到D，根據動能定理列式 可求出兩者返回到D時速度，乙從D到C過程，由動能定理列式，聯立可求動摩擦因數．
（2）要使乙返回時能通過最高點A，恰好由重力提供乙的向心力，可由牛頓第二定律得到乙到達A點的臨界速度．再運用上題的方法，分段根據動能定理和動量守恒列式，求解該恒力至少多大．

解答：解：（1）設乙與甲碰前瞬間速度為v₁，碰后瞬間速度為v₂，甲乙一起返回到D時速度為v₃．
乙從B到D有 mgR-umgL1=

1

2

mv12  ①
碰撞過程由動量守恒得   mv₁=2mv₂ ②
甲乙從D到E再回到D有 -μ?2mg?2L2=

1

2

2mv32-

1

2

2mv22  ③
乙從D到C 有          -μmgL1=-

1

2

mv32  ④
聯立解得 μ=

R

5L1+8L2

（2）設對乙加的最小恒力為F
從B到D有 mgR+FL1-μmgL1=

1

2

mv42  ⑤
碰撞過程由動量守恒得    mv₄=2mv₅ ⑥
甲乙從D到E再回到D有  -μ?2mg?2L2=

1

2

2mv62-

1

2

2mv52  ⑦
乙從D到A有  -mg?2R-μmgL1=

1

2

mvA2-

1

2

mv62  ⑧
在A點有      mg=

mvA2

R

  ⑨
聯立⑤⑥⑦⑧⑨解得   F=

10mgR

L1

答：
（1）直軌道EC段與物塊間動摩擦因素為

R

5L1+8L2

．
（2）要使乙返回時能通過最高點A，可在乙由C向D運動過程中過C點時，對乙加一水平向左恒力，至D點與甲碰撞前瞬間撤去此恒力，則該恒力至少為

10mgR

L1

．

點評：本題的物理過程比較復雜，但情況較清晰，按時間順序，分段研究，把握每個過程的物理規律是關鍵，還要抓住最高點的臨界條件結合進行研究．