Question

【題目】做功與路徑無關的力場叫做勢場，在這類場中可以引入“勢”和“勢能”的概念，場力做功可以量度勢能的變化。例如靜電場和引力場。

(1)如圖所示，真空中靜止點電荷+Q產生的電場中，A、B為同一條電場線上的兩點，A、B兩點與點電荷+Q間的距離分別為r1和r2。取無窮遠處的電勢為零，則在距離點電荷+Q為r的某點電勢（式中k為靜電力常量）。

a．現將電荷量為+q的檢驗電荷放置在A點，求該檢驗電荷在A點時的電勢能EpA；

b．現將電荷量為+q的檢驗電荷，由A點移至B點，求在此過程中，電場力所做的功W。

(2)質量為M的天體周圍存在引力場。已知該天體的半徑為R，引力常量為G。

a．請類比點電荷，取無窮遠處的引力勢為零，寫出在距離該天體中心為r（）處的引力勢的表達式；

b．天體表面上的物體擺脫該天體萬有引力的束縛，飛向宇宙空間所需的最小速度，稱為第二宇宙速度，又叫逃逸速度。求該天體的第二宇宙速度v。

(3)2019年4月10日，人類首張黑洞照片面世。黑洞的質量非常大，半徑又非常小，以致于任何物質和輻射進入其中都不能逃逸，甚至光也不能逃逸。已知黑洞的質量為M0，引力常量為G，真空中的光速為c，求黑洞可能的最大半徑rm。

Answer 1

【答案】（1）a． b．（2）a． b．（3）

【解析】

(1)a．由題意可知，A點的電勢

所以檢驗電荷+q放置在A點時的電勢能

b．在檢驗電荷由A點移至B點的過程中，根據功能關系有

(2)a．將一物體從距離該天體中心為r的點移至無窮遠處，萬有引力做負功，引力勢能增加，所以該點的引力勢，則類比點電荷可得

b．天體表面處的引力勢

則質量為m的物體放在天體表面處的引力勢能

若將質量為m的物體從天體表面處以初速度v向外“拋出”，該物體恰能到達無窮遠處。根據機械能守恒定律有

所以

(3)因為光也不能從黑洞逃逸，設黑洞的半徑為r，則有

則

所以黑洞可能的最大半徑