Question

（18分）如圖所示，水平放置的足夠長的平行金屬導軌MN、PQ的一端接有電阻R₀，不計電阻的導體棒ab靜置在導軌的左端MP處，并與MN垂直．以導軌PQ的左端為坐標原點O，建立直角坐標系xOy，Ox軸沿PQ方向．每根導軌單位長度的電阻為r．垂直于導軌平面的非勻強磁場磁感應強度在y軸方向不變，在x軸方向上的變化規律為：B＝B₀＋kx，并且x≥0．現在導體棒中點施加一垂直于棒的水平拉力F，使導體棒由靜止開始向右做勻加速直線運動，加速度大小為a．設導體棒的質量為m，兩導軌間距為L．不計導體棒與導軌間的摩擦，導體棒與導軌接觸良好，不計其余部分的電阻．

（1）請通過分析推導出水平拉力F的大小隨橫坐標x變化的關系式；
（2）如果已知導體棒從x＝0運動到x＝x₀的過程中，力F做的功為W，求此過程回路中產生的焦耳熱Q；
（3）若B₀＝0．1T，k＝0．2T／m，R₀＝0．1Ω，r＝0．1Ω／m，L＝0．5m，
a＝4m／s²，求導體棒從x＝0運動到x＝1m的過程中，通過電阻R₀的電荷量q．

Answer 1

(1)  (2) W-max₀ ; (3) 0.5C

試題分析：（1）設導體棒運動到坐標為x處的速度為v，根據法拉第電磁感應定律可得：E=BLv①
由歐姆定律：②
由于棒做勻加速運動，所以有③
此時棒受到的安培力：④
由牛頓第二定律：⑤
聯立①②③④⑤可得： 
（2）設導體棒在x=x₀處的動能為E_K，則由動能定理可得：E_K=max₀ ⑥
由能量守恒定律可知：W=Q+E_K  ⑦
將⑥式代入⑦式可解得：Q=W-max₀
（3）由①②兩式可得：⑧
因為a=vt，將題中所給的數據代入⑧式可得：I="2t(A)" ⑨
可知回路中的電流與時間成正比，所以在0-t時間內，通過R₀的電荷量為：
由勻加速直線運動的規律可得：，當x=x₀時，有