Question

如圖（1）所示，一邊長為L，質量為m，電阻為R的金屬絲方框豎直放置在磁場中，磁場方向垂直方框平面，磁感應強度的大小隨y的變化規律為B=B₀+ky，k為恒定常數，同一水平面上磁感應強度相同．現將方框以初速度v₀從O點水平拋出，重力加速度為g，不計阻力．

（1）通過計算確定方框最終運動的狀態；
（2）若方框下落過程中產生的電動勢E與下落高度y的關系如圖（2）所示，求方框下落H高度時產生的內能．

Answer 1

（1）線框中各條邊的電流相等，根據對稱性可知線框在水平方向所受合力為0，
導線框在水平方向做勻速運動；
設線框運動ts，下落h高度，豎直方向速度為v_y，
切割產生的電動勢E=B_下Lv_y-B_上Lv_y ①，
磁感應強度：B=B₀+ky ②，
導線框中的電流I=

E

R

③，
由牛頓第二定律得：mg-（B_下LI-B_上LI）=ma ④，
由①②③④解得，a=g-

k2L4vy

mR

，
隨導線框在豎直方向受到的增加，加速度a減小，
當a=0時，導線框將做勻速直線運動，速度v_ym=

mRg

k2L4

；
因此導線框在豎直方向先做變加速運動，最終做勻速直線運動，
勻速運動的速度v_ym=

mRg

k2L4

；
最終方框勻速運動，速度大小為v=

v 2x + v 2y

=

v 20 + m2R2g2 k4L8

，
設速度方向與x洲間的夾角是θ，tanθ=

vy

vx

，方向與x軸成arctan

mRg

v0k2L4

；
（2）由圖象可得線框下落H高度時做勻速運動，
由能量守恒定律得：Q=mgH+

1

2

mv₀²-

1

2

mv²
Q=mgH-

m3R2g2

2k4L8

；
答：（1）方框最終做運動直線運動．
（2）方框下落H高度時產生的內能是mgH-

m3R2g2

2k4L8

．