Question

如圖所示，正三角形ACD是一用絕緣材料制成的固定柜架，邊長為L，在框架外是范圍足夠寬的勻強磁場，磁感應強度為B，方向垂直于紙面向里，ACD可視為磁場的理想內邊界，在框架內有一對帶電平行極板M、N，M板的中點K處有一粒子源，能夠產生速度為零、質量為m、電量為q的帶正電的粒子，粒子重力不計，帶電粒子經兩極板間的電場加速后從CD邊中心的小孔S垂直于CD邊射入磁場，若這些粒子與框架碰撞時無能量損失，且每一次碰撞時速度方向均垂直于被碰的邊框，要使粒子在最短的時間內回到小孔S，求：
（1）粒子做圓周運動的軌道半徑，并畫出粒子在磁場中的運動軌跡和繞行方向；
（2）兩極板M、N間的電壓；
（3）粒子回到小孔S的最短時間．

Answer 1

分析：（1）粒子在磁場中做圓周運動，與框架碰撞后速度方向均垂直于框架，根據幾何關系可以判斷粒子最短時間內回到小孔的軌跡，根據洛倫茲力的方向判斷粒子繞行方向；
（2）根據（1）中的粒子半徑，利用洛倫茲力提供向心力和在電場中加速的動能定理進行計算即可；
（3）粒子在每次撞擊中的時間t=

θ

2π

T，根據幾何關系有

θ

2π

=

5

6

，所以粒子回到s與框架撞擊3次，可以計算出運動的時間．

解答：解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運動，與邊框垂直碰撞后要重新回到S，
由幾何關系可知，A、C、D三點必為圓軌道的圓心，要使粒子回到S的時間最短，圓軌道半徑R=

L

2

根據磁場方向和粒子所帶電荷判斷粒子運動軌跡和繞行方向如下圖所示：

（2）因為粒子在磁場中做圓周運動的半徑R=

L

2

，根據半徑公式有：
R=

mv

qB

=

L

2

得：v=

qBL

2m

            ①
所以粒子在電場中加速時，根據動能定理，電場力做功等于粒子動能的變化有：
qU=

1

2

mv2-0          ②
將①代入②得：U=

qB2L2

8m

（3）粒子在磁場中做圓周運動的周期T=

2πm

qB

，如軌跡圖所示，粒子在磁場中運動的時間t=3×

5

6

T=

5πm

qB

答：（1）粒子做圓周運動的軌道半徑R=

L

2

，粒子在磁場中的運動軌跡和繞行方向如上圖所示；
（2）兩極板M、N間的電壓U=

qB2L2

8m

；
（3）粒子回到小孔S的最短時間t=

5πm

qB

．

點評：粒子在磁場中做圓周運動根據洛倫茲力提供向心力可得出粒子運動的半徑、周期的表達式，根據幾何關系求出粒子運動的軌跡；粒子在電場中加速運動滿足動能定理，即電場力做功等于粒子動能的變化，根據粒子做圓周運動的時間計算式t=

θ

2π

T求粒子的運動時間．