Question

如圖所示，在空中A點(diǎn)將質(zhì)量為m=0.1kg的小球以某一水平速度拋出，將無碰撞地由B點(diǎn)進(jìn)入豎直平面內(nèi)半徑R=

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m的內(nèi)壁光滑圓管弧形軌道，然后經(jīng)最低點(diǎn)C無能量損失地進(jìn)入足夠長光滑水平軌道，與另一靜止的質(zhì)量為M=0.3kg小球發(fā)生碰撞并粘連在一起（不再分開）壓縮彈簧，彈簧左端與小球M栓接，彈簧右端與固定擋板栓接．已知圓管的直徑遠(yuǎn)小于軌道半徑R且略大于小球直徑，OB和豎直方向之間的夾角α=37°，A點(diǎn)與B點(diǎn)的豎直高度差h=0.45m，彈簧始終在彈性限度內(nèi)，g=10m/s²．求：
（1）小球在A點(diǎn)拋出的水平初速度v₀．
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力F_N的大小（結(jié)果保留一位有效數(shù)字）
（3）彈簧壓縮過程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能E_p
（4）若只將彈簧右側(cè)栓接的擋板改為栓接一個(gè)質(zhì)量為M′=0.4kg的光滑小球，水平軌道足夠長，其它條件保持不變，則三個(gè)小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)和相互作用過程中小球M′第二次達(dá)到最大速度時(shí)，小球M的速度是多少？

Answer 1

分析：1、小球在A點(diǎn)拋出做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解；
2、小球由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒求出在C點(diǎn)速度，根據(jù)牛頓第二定律和牛頓第三定律求解；
3、兩球相碰根據(jù)動(dòng)量守恒，兩球一起壓彈簧到最短的過程中，當(dāng)兩球速度為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，根據(jù)能量守恒求解；
4、根據(jù)動(dòng)量守恒守恒和機(jī)械能守恒列出等式求解．

解答：解：（1）設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)的豎直速度為v_y，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律得：

v

2 y

=2gh   ①
在B點(diǎn)時(shí)，根據(jù)速度關(guān)系得
tanα=

vy

v0

                  ②
綜合①、②并代入已知得
v₀=4m/s                ③
（2）小球在B點(diǎn)時(shí)的速度
v_B=

v 2 0 +v 2 y

            ④
小球由B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，根據(jù)機(jī)械能守恒有

1

2

m

v

2 C

=

1

2

m

v

2 B

+mgR（1+cosα）             ⑤
在C點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律有
F_N-mg=m

v 2 C

R

  ⑥
由④、⑤、⑥式，并代入已知得F_N=7N    ⑦
根據(jù)牛頓第三定律得小球?qū)�軌道的壓力�?N
（3）兩球相碰根據(jù)動(dòng)量守恒，規(guī)定初速度方向?yàn)檎�方向�?br />mv_C=（m+M）v          ⑧
兩球一起壓彈簧到最短的過程中，當(dāng)兩球速度為零時(shí)，彈性勢(shì)能最大，
根據(jù)能量守恒得

1

2

（m+M）v²=E_p  ⑨
由⑧、⑨式，并代入已知得E_p=0.8J
（4）三個(gè)小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)和相互作用過程中小球M′第二次達(dá)到最大速度時(shí)，該狀態(tài)時(shí)彈簧處于原長，規(guī)定初速度方向?yàn)檎�方向�?br />根據(jù)動(dòng)量守恒守恒列式：
（m+M）v=（m+M）v₁+M′v₂
根據(jù)機(jī)械能守恒列出等式：

1

2

（m+M）v²=

1

2

（m+M）

v

2 1

+

1

2

M′

v

2 2

                       
列式解方程組得，v₂=v，v₁=0
所以當(dāng)小球M′第二次達(dá)到最大速度時(shí)，小球M的速度是0．        
答：（1）小球在A點(diǎn)拋出的水平初速度是4m/s．
（2）小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)C時(shí)，小球?qū)�軌道的壓力F_N的大小是7N．
（3）彈簧壓縮過程中，彈簧具有的最大彈性勢(shì)能是0.8J
（4）三個(gè)小球在整個(gè)運(yùn)動(dòng)和相互作用過程中小球M′第二次達(dá)到最大速度時(shí)，小球M的速度是0．

點(diǎn)評(píng)：該題為平拋運(yùn)動(dòng)與圓周運(yùn)動(dòng)的結(jié)合的綜合題，知道平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和牛頓第二定律求解得思路．
解決該題關(guān)鍵是掌握碰撞過程兩球系統(tǒng)機(jī)械能守恒，動(dòng)量也守恒，列出等式求解．