Question

如圖甲所示，水平天花板下懸掛一光滑的輕質的定滑輪，跨過定滑輪的質量不計的繩（繩承受拉力足夠大）兩端分別連接物塊A和B，A的質量為m₀，B的質量m是可以變化的，當B的質量改變時，可以得到A加速度變化圖線如圖乙所示，不計空氣阻力和所有的摩擦，A加速度向上為正．
（1）求圖乙中a₁、a₂和m₁的大小．
（2）若m₀=0.8kg，m=1.2kg，AB開始都在離水平地面H=0.5m處，由靜止釋放AB，且B著地后不反彈，求A上升離水平地面的最大高度．（g取10m/s²）
（3）根據牛頓定律和運動學規律，證明在A和B未著地或與滑輪接觸時，AB系統機械能守恒．

Answer 1

分析：（1）對兩個物塊分別受力分析，運用牛頓第二定律列式求解出加速度與質量m的關系式，再結合圖象進行分析判斷；
（2）B著地前，AB系統機械能守恒，B著地后，物體A繼續上升，機械能守恒，根據機械能守恒定律列式求解即可；也可以先根據牛頓第二定律求解出加速度，然后根據運動學公式列式求解；
（3）運用牛頓第二定律求解出加速度，然后根據運動學公式列式求解出速度，就可以證明系統機械能守恒；

解答：解：（1）對B物體受力分析，受重力mg和拉力F，根據牛頓第二定律，有：mg-F=ma
對A物體受力分析，受重力m₀g和拉力F，根據牛頓第二定律，有：F-m₀g=m₀a
解得a=

m-m0

m+m0

g
當m→∞時a₁=g
當m=0時a₂=-g
當a=0時m=m₁=m₀
即圖乙中a₁、a₂和m₁的大小分別為：g、-g、m₀．
（2）方法一：用牛二定律和運動學關系解：從H=0.5m高處釋放，AB加速度有
a=

m-m0

m+m0

g=2m/s²
B著地時A速度v=

2aH

=

2

 m/s
接著A做豎直上拋，上升h=

v2

2g

=0.1m
A距離水平面最大高度h_m=2H+h=1.1m
方法二：用動能定理解：B剛落地時A、B有大小相等的速度，設為v則有：

1

2

（m+m₀）v²=（m-m₀）gH
代入數據解得：v=

2

 m/s
接著A做豎直上拋，上升h=

v2

2g

=0.1m
A距離水平面最大高度h_m=2H+h=1.1m
（3）設A開始離水平面h₁，B開始離水平面h₂，由靜止釋放A上升到高度h₁′，B下降到高度h₂′，則h₁′-h₁=h₂-h₂′=h
代入（1）問中加速度a，AB發生h位移時速度為v
v²=2ah
v²=2

m-m0

m+m0

gh

1

2

（m+m₀）v²=mg（h₂-h₂′）-m₀g（h₁′-h₁）
得

1

2

m₀v²+m₀gh₁′+

1

2

mv²+mgh₂′=m₀gh₁+mgh₂
故A、B系統機械能守恒．

點評：本題關鍵是對兩個物體分別受力分析，根據牛頓第二定律求出加速度，然后根據運動學公式列式分析求解．