Question

如圖1所示，豎直放置的截面積為S、匝數為N、電阻為R的線圈兩端分別與兩根相距為L 的傾斜光滑平行金屬導軌相連．導軌足夠長，其軌道平面與水平面成a角，線圈所在空間存在著方向平行于線圈軸線豎直向下的均勻磁場B₁，磁感應強度B_l隨時間t的變化關系如圖2所示，導軌所在空間存在垂直于軌道平面的勻強磁場B₂．設在t=0到t=0.2s的時間內，垂直兩根導軌放置的質量為m的金屬桿靜止在導軌上，t=0.2s后，由于B₁保持不變，金屬桿由靜止開始沿導軌下滑，經過足夠長的時間后，金屬桿的速度會達到一個最大速度v_m．已知：S=0.00l m²，N=l00匝，R=0.05Ω，a=300，L=0.1m，B₂=0.2T，g取l0m/s²．（除線圈電阻外，其余電阻均不計，且不考慮由于線圈中電流變化而產生的自感電動勢對電路的影響）．
（1）求金屬桿的質量m并判斷磁場B₂的方向；
（2）求金屬桿在導軌上運動的最大速度vm；
（3）若金屬桿達到最大速度時恰好進入軌道的粗糙部分，軌道對桿的滑動摩擦力等于桿所受重力的一半，求棒運動到最大速度后繼續沿軌道滑動的最大距離Xm及此過程中回路中產生的焦耳熱Q．

Answer 1

分析：（1）在t=0到t=0.2s的時間內，根據圖象和法拉弟電磁感應定律、歐姆定律求出線圈中感應電流，由金屬桿平衡求出m，并確定B₂的方向．
（2）在t=0.2s后，B₁保持不變，金屬桿沿導軌下滑，先做加速度減小的變加速運動，最后做勻速運動，速度達到最大，根據平衡平衡條件和安培力公式求出最大速度，
（3）用積分法，根據牛頓第二定律求出位移，再根據能量守恒求出焦耳熱．

解答：解：（1）在t=0到t=0.2s的時間內，金屬桿靜止在導軌上
            線圈產生的感應電動勢   E=N

△Φ

△t

=N

△B1S

△t

            閉合電路中的電流       I=

E

R

            金屬桿所受到的安培力   F=B₂IL
           對金屬桿，由平衡條件得 mgsinα=F
       由上述程式解得       m=4×10^-3kg
       磁場B₂的方向垂直導軌向下．
（2）在t=0.2s后，由于B₁保持不變，金屬桿由靜止沿斜面下滑，
根據題意，當金屬桿達到最大速度時，桿中電流和（1）問中電流相等．
     

B 2 2 L2vm

R

=mgsinα
           得到v_m=2.5m/s
（3）金屬運動到最大速度后軌道變得粗糙后，金屬桿開始減速下滑
   對金屬桿，由牛頓第二定律，得-

B 2 2 L2v

R

=-m

△v

△t

∑（

B 2 2 L2v

R

△t）=∑（m△v）
        得到

B 2 2 L2xm

R

=mv_m
            解得x_m=1.25m
    由能量轉化和守恒定律得

1

2

m

v

2 m

+mgx_msinα=

1

2

mgxm+Q
            解之得Q=0.0125J

點評：本題的難點是第3問用積分的方法求位移，在中學階段比較少，關鍵是根據加速度的定義式．