Question

【題目】萬有引力定律揭示了天體運動規律與地上物體運動規律具有內在的一致性。

（1）用彈簧測力計稱量一個相對于地球靜止的物體的重力，隨稱量位置的變化可能會有不同結果。已知地球質量為M，自轉周期為T，引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量分布均勻的球體，不考慮空氣的影響。設在地球北極地面稱量時，彈簧測力計的讀數是F0。

①若在北極上空高出地面h處稱量，彈簧測力計讀數為F1，求比值的表達式，并就h=1．0%R的情形算出具體數值（計算結果保留兩位有效數字）；

②若在赤道表面稱量，彈簧測力計讀數為F2，求比值的表達式。

（2）設想地球繞太陽公轉的圓周軌道半徑為r、太陽半徑為Rs和地球的半徑R三者均減小為現在的1．0%，而太陽和地球的密度均勻且不變。僅考慮太陽與地球之間的相互作用，以現實地球的1年為標準，計算“設想地球”的1年將變為多長？

Answer 1

【答案】（1）①，②

（2）“設想地球”的1年與現實地球的1年時間相同

【解析】試題分析：（1）設物體的質量為m

①在北極地面：

在北極上空高出地面h處：

所以：

當時：

②在赤道地面，物體隨地球自轉做勻速圓周運動，受到萬有引力和彈簧測力計的拉力，有

聯立可得：

（2）地球繞太陽做勻速圓周運動，受到太陽的萬有引力。設太陽的質量為，太陽的半徑為，地球質量為M，地球公轉周期為，則：

得

其中，為太陽的密度。由上式可知：地球公轉周期僅與太陽的密度、地球公轉軌道半徑和太陽半徑之比有關，因此，“設想地球”的1年與現實地球的1年時間相同。