Question

如圖所示，一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的．一根輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當它們處于平衡狀態時，小球A與O點的連線與水平線的夾角為60°．
（1）求小球A與小球B的質量比m_A：m_B；
（2）現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球的速率為多大？（結果用根式表示）

Answer 1

分析：（1）先對m_B球受力分析，受重力和拉力，二力平衡，求出拉力；再對m_A球受力分析，根據共點力平衡條件列式求解．
（2）A球在碗底時，v_A不等于v_B，應將v_A沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于你B球的速度v_B的大小．再根據機械能守恒定律列式解決．

解答：解：（1）設繩上拉力為T，碗對A球的彈力為N，根據對稱性可得：N=T 
由平衡條件：2Tcos30°=m_Ag 
對B球，受拉力與重力平衡得：T=m_Bg 
聯立得：m_A：m_B=

3

：1
（2）A球在碗底時，v_A不等于v_B，應將v_A沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于B球的速度的大小，即：v_B=v_Asin45°=

2

2

v_A
根據機械能守恒定律有：m_AgR-m_Bg

2

R=

1

2

m_Av_A²+

1

2

m_Bv_B²
可得：v_A=

4(2- 2 )gR 5

  v_B=

2(2- 2 )gR 5

答：（1）小球A與小球B的質量比m_A：m_B為

3

：1．
（2）小球A與小球B的速率分別為

4(2- 2 )gR 5

，

2(2- 2 )gR 5

．

點評：本題是簡單的連接體問題，先分析受力最簡單的物體，再分析受力較復雜的另一個物體，同時要運用正交分解法處理較為方便．
注意連接體中兩個物體的速度大小不一定相等．要應用速度的分解求出兩個小球的速率關系．