Question

（2010?天津模擬）如圖所示的“s”形玩具軌道，該軌道是用內壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓的半徑比細管內徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平方向不可移動．彈射裝置將一個小球（其直徑略小于細管的內徑）從a點水平射出，并從b點進入軌道，經過軌道后從最高點d水平拋出（拋出后小球不會再碰軌道），已知小球與地面ab段間的動摩擦因數為μ=0.2，不計其它機械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質量m=0.01kg，軌道質量為M=0.26kg，g=l0m/s²，求：
（1）若在a點彈射裝置對小球水平的瞬時沖量I=0.05N?s，求小球從最高點d拋出后的水平射程．
（2）設小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，若小球經過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力恰好為零，則小球在a點的速度v₀為多大．

Answer 1

分析：（1）根據動量定理求出小球的初速度，通過動能定理求出小球運動到d的速度，結合平拋運動的規律求出水平射程．
（2）小球經過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力恰好為零，知小球對C點彈力等于軌道的重力，根據牛頓第二定律求出小球在C點的速度，結合動能定理求出初速度的大小．

解答：解：（1）由動量定理可知，I=mv₀-0  
設小球到達d點處速度為v，由動能定理，得
-μmgL-mg?4R=

1

2

mv2-

1

2

mv02
小球由d點做平拋運動，有4R=

1

2

gt2
s=vt
聯立①②③并代入數值，解得小球從最高點d拋出后的水平射程：
s=

2 6

5

m≈0.98m
（2）設小球到達c點處速度為v_c，由動能定理，得
-μmgL-mg?2R=

1

2

mvc2-

1

2

mv02
當小球通過c點時，由牛頓第二定律得
N′+mg=m

vc2

R

要使軌道對地面的壓力為零，有N′=Mg
解得小球的最小速度：v₀=6m/s．
答：（1）小球從最高點d拋出后的水平射程為0.98m．
（2）小球在a點的速度v₀為6m/s．

點評：本題綜合考查了動量定理、動能定理、牛頓第二定律，涉及到平拋運動、圓周運動、直線運動，綜合性較強，是一道好題．