Question

（2009?黃州區模擬）如圖所示，有一與豎直方向夾角為45°的直線邊界，其左下方有一正交的勻強電磁場．磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度大小為B；電場方向豎直向上，場強大小為E=mg/q．一質量為m，電荷量為+q的小球從邊界上N點正上方高為h處的M點靜止釋放，下落到N點時小球瞬間爆炸成質量、電荷量均相等的A、B兩塊．已知爆炸后A向上運動，能達到的最大高度為4h；B向下運動進入電磁場區域．此后A也將進入電磁場區域，求：
（1）B剛進入電磁場區域的速度v_B1；
（2）B第二次進入電磁場區域的速度v_B2；
（3）設B、A第二次進入電磁場時，與邊界OO'交點分別為P、Q，求PQ之間的距離．

Answer 1

分析：（1）根據動能定理，結合動量守恒定律求出B剛進入電磁場區域的速度．
（2）B進入電磁場，受到的電場力和重力相等，做勻速圓周運動，根據幾何關系，得出B出磁場后的速度方向，從而確定其運動情況，從而根據運動分析得出第二次進入電磁場的速度．
（3）根據圓周運動的知識，結合軌道半徑，運用幾何關系分別求出A、B第二次進入電磁場與第一次進入電磁場之間的距離，從而求出PQ之間的距離．

解答：解：（1）設小球運動到N點時速度為v₀，則有：mgh=

1

2

m

v

2 0

即：v0=

2gh

設爆炸后瞬間A的速度為v_A1則有：

1

2

?

m

2

v

2 A1

=

m

2

g?4h
即：vA1=2v0=

8gh

爆炸前后動量守恒，有：mv0=

m

2

vB1-

m

2

vA1
聯立，得：vB1=4v0=4

2gh

（2）進入電磁場后由于

m

2

g=

q

2

E，故B做勻速圓周運動．B離開電磁場后做平拋運動，設運動時間為t，則有：

.

CP

sin45°=vB1t

.

CP

cos45°=

1

2

gt2
聯立，得：t=

2vB1

g

所以：v_y=gt=2v_B1
由圖知：vB2=

v 2 B1 + v 2 y

=

5

vB1=4

10gh

設v₂與水平方向α成角，則：tanα=

vy

vB1

=2
（3）設運動半徑為R_B，有：

q

2

vB1B=

m

2

v 2 B1

RB

即RB=

mvB1

qB

故NC的距離為：

.

NC

=

2

RB=

2 mvB1

qB

由前可得：

.

CP

=

2 2 v 2 B1

g

所以B第一次進入磁場到第二次進入磁場之間的距離為：

.

NP

=

.

NC

+

.

CP

=

2 mvB1

qB

+

2 2 v 2 B1

g

=

8m gh

qB

+64

2

h
同理A第一次進入磁場到第二次進入磁場之間的距離為：

.

NQ

=

.

ND

+

.

DQ

=

2 mvA1

qB

+

2 2 v 2 A1

g

=

4m gh

qB

+16

2

h
故PQ間的距離為：

.

PQ

=

.

NP

-

.

NQ

=

4m gh

qB

+48

2

h
答：（1）B剛進入電磁場區域的速度為4

2gh

．
（2）B第二次進入電磁場區域的速度v_B2為4

10gh

．
（3）PQ之間的距離為48

2

h+

4m gh

qB

．

點評：本題綜合運用了動能定理、動量守恒定律、牛頓第二定律，綜合性較強，對數學幾何能力的要求較高，關鍵搞清A、B的運動情況，選擇合適的規律進行求解．