Question

湯姆孫測定電子比荷（電子的電荷量與質量之比）的實驗裝置如圖所示．真空玻璃管內，陰極K發出的電子經加速后，穿過小孔A、C沿中心軸線OP₁進入到兩塊水平正對放置的極板D₁、D₂間的區域，射出后到達右端的熒光屏上形成光點．若極板D₁、D₂間無電壓，電子將打在熒光屏上的中心P₁點；若在極板間施加偏轉電壓U，則電子將打P₂點，P₂與P₁點的豎直間距為b，水平間距可忽略不計．若再在極板間施加一個方向垂直于紙面向外、磁感應強度為B的勻強磁場（圖中未畫出），則電子在熒光屏上產生的光點又回到P₁點．已知極板的長度為L₁，極板間的距離為d，極板右端到熒光屏間的距離為L₂．忽略電子的重力及電子間的相互作用．
（1）求電子進入極板D₁、D₂間區域時速度的大小；
（2）推導出電子的比荷的表達式；
（3）若去掉極板D₁、D₂間的電壓，只保留勻強磁場B，電子通過極板間的磁場區域的軌跡為一個半徑為r的圓弧，陰極射線射出極板后落在熒光屏上的P₃點．不計P₃與P₁點的水平間距，求P₃與P₁點的豎直間距y．

Answer 1

分析：（1）當電子在極板D₁、D₂間受到電場力與洛倫茲力平衡時，做勻速直線運動，受力平衡，由平衡條件可求出電子運動速度．
（2）極板間僅有偏轉電場時，電子在電場中做類平拋運動，將運動分解成沿電場強度方向與垂直電場強度方向，然后由牛頓第二定律和運動學公式可求出偏轉距離和離開電場時的速度．電子離開電場后，做勻速直線運動，從而可以求出偏轉距離．
（3）極板D₁、D₂間僅有勻強磁場時，電子做勻速圓周運動，射出磁場后電子做勻速直線運動，畫出電子運動的軌跡，根據幾何知識求解y．

解答：解：（1）電子在極板D₁、D₂間電場力與洛倫茲力的作用下沿中心軸線運動，即受力平衡，設電子的進入極板間時的速度為v．
由平衡條件有 evB=eE
兩極板間電場強度 E=

U

d

解得 v=

U

Bd

（2）極板間僅有偏轉電場時，電子以速度v進入后，水平方向做勻速運動，在電場內的運動時間 t1=

L1

v

電子在豎直方向做勻加速運動，設其加速度為a．
由牛頓第二定律有 F=ma
解得加速度 a=

eU

md

電子射出極板時豎直方向的偏轉距離 y1=

1

2

a

t

2 1

=

eU L 2 1

2mdv2

電子射出極板時豎直方向的分速度為 v_y=at₁=

eUL1

mdv

電子離開極板間電場后做勻速直線運動，經時間t₂到達熒光屏，t₂=

L2

v

電子在t₂時間在豎直方向運動的距離 y₂=v_yt₂=

eUL1L2

mdv2

這樣，電子在豎直方向上的總偏移距離 b=y₁+y₂
解得電子比荷 

e

m

=

2Ub

L1(L1+2L2)dB2

（3）極板D₁、D₂間僅有勻強磁場時，電子做勻速圓周運動，射出磁場后電子做勻速直線運動，如答圖所示．
則 tanθ=

L1

r2- L 2 1

穿出磁場后在豎直方向上移動的距離 y3=L2tanθ=

L1L2

r2- L 2 1

則 y=r-

r2- L 2 1

+y3
解得y=r-

r2- L 2 1

+

L1L2

r2- L 2 1

答：（1）電子進入極板D₁、D₂間區域時速度的大小為

U

Bd

；（2）電子的比荷的表達式為

e

m

=

2Ub

L1(L1+2L2)dB2

；（3）P₃與P₁點的豎直間距y為r-

r2- L 2 1

+

L1L2

r2- L 2 1

．

點評：本題是組合場問題：對速度選擇器，根據平衡條件研究；對于類平拋運動的處理，通常采用運動的分解法律：將運動分解成相互垂直的兩方向運動，將一個復雜的曲線運動分解成兩個簡單的直線運動，并用牛頓第二定律和運動學公式來求解．對于帶電粒子在磁場中的圓周運動，要正確畫出軌跡，運用幾何知識進行解題．