Question

如圖所示，水平圓盤半徑為R，可繞過圓盤中心的豎直軸轉動，在圓盤的邊緣用長為R的細線拴著質量為m的小球，圓盤靜止時小球離地面高度為

3

2

R，拴小球的細線能承受的最大拉力為

2

3

3

mg，現讓圓盤轉動的角速度緩慢增加，求：①細線欲斷不斷時圓盤轉動的角速度為多大？②細線斷開后小球落地點到轉軸的距離為多少？（結果保留根號）

Answer 1

分析：（1）讓圓盤轉動的角速度緩慢增加，細線與豎直方向的夾角緩慢增大，細線的拉力緩慢增大，細線能承受的拉力最大時，細線與豎直方向的夾角達到最大．由重力和細線的拉力的合力提供小球的向心力，根據牛頓第二定律求解角速度．
（2）細線斷開后小球做平拋運動，由離地的高度求出運動時間，求出水平位移，由幾何知識求出球落地點到轉軸的距離．

解答：解：（1）設細線的拉力恰好達到最大時與豎直方向的夾角為α，此時，小球圓周運動的半徑為r=R+Rsinα．
∵cosα=

mg

T

=

3

2

∴α=30°，所以r=

3

2

R
根據牛頓第二定律得
   mgtan30°=mω²r
解得ω=

1

3

2 3 g R

（2）細線斷開后小球做平拋運動，初速度為v=ωr=

2 3 gR

2

高度h=R+

3

2

R-Rcos30°=R
則平拋運動的時間為t=

2R g

，水平位移x=vt

3

R
根據幾何知識得到，細線斷開后小球落地點到轉軸的距離為
   S=

x2+(1.5R)2

=

3 + 9 4

R
答：
①細線欲斷不斷時圓盤轉動的角速度為ω=

1

3

2 3 g R

．
②細線斷開后小球落地點到轉軸的距離為

3 + 9 4

R．

點評：本題是圓錐擺與平拋運動的綜合應用問題．容易產生錯誤的地方有兩點：一是圓錐擺的半徑，二是小球落地點到轉軸的距離．