Question

如圖所示，半徑為r的金屬圓環置于水平面內，三條電阻均為R的導體桿Oa、Ob和Oc互成120°連接在圓心O和圓環上，圓環繞經過圓心O的豎直金屬轉軸以大小為ω的角速度按圖中箭頭方向勻速轉動．一方向豎直向下的勻強磁場區與圓環所在平面相交，相交區域為一如圖虛線所示的正方形（其一個頂點位于O處）．C為平行板電容器，通過固定的電刷P和Q接在圓環和金屬轉軸上，電容器極板長為l，兩極板的間距為d．有一細電子束沿兩極板間的中線以大小為v₀（v0＞

2ωl

π

）的初速度連續不斷地射入C．
（1）射入的電子發生偏轉時是向上偏轉還是向下偏轉？
（2）已知電子電量為e，質量為m．忽略圓環的電阻、電容器的充電放電時間及電子所受的重力和阻力．欲使射入的電子全部都能通過C所在區域，勻強磁場的磁感應強度B應滿足什么條件？

Answer 1

分析：（1）題中三個導體桿做切割磁感線，產生感應電動勢，根據右手定則判斷感應電動勢的方向，確定出兩金屬板電勢的高低，即可判斷電子的偏轉方向．
（2）電子進入電容器C后，某一導體棒也開始進入磁場，電子電子做類平拋運動，在水平方向不受電場力而做勻速直線運動，在豎直方向受到電場力而做勻加速運動；在沒有電場的時間內豎直方向做勻速直線運動，根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出電子在豎直方向的最大位移y，要使射入的電子全部都能通過電容器C，必須滿足的條件是y≤

d

2

，聯立可求出磁感應強度B的范圍．

解答：解：（1）根據右手定則判斷可知，三個導體桿產生的感應電動勢都指向O點，O點相當于電源的正極，則電容器上板電勢高于下板電勢，電場方向向下，故射入的電子發生偏轉時是向上偏轉．                         ①
（2）當導體桿處于磁場中時，感應電動勢 E=Br

.

v

②
導體桿轉動的平均速度

.

v

=

1

2

r?ω
所以，E=

1

2

Br2ω ③
此時，磁場中導體桿的電阻為內電阻，其余的電阻為外電阻，電容器的電壓 U=

R/2

R+R/2

E=

1

3

E④
射入的電子在兩極板間運動　l=v₀t⑤
因為v0＞

2ωl

π

，所以t＜

π

2ω

⑥
而

π

2ω

就是每條導體桿在磁場中運動的時間，因此有部分電子在兩極板間運動的時間內，極板間的電場始終存在，這部分電子在極板間的偏轉量最大．
設電子恰好能離開通過C，有

d

2

=

1

2

at2⑦
而　　　a=

eU

md

⑧
由以上各式得　B=

6m v 2 0 d2

eωr2l2

⑨
磁感強度B應滿足的條件是　B＜

6m v 2 0 d2

eωr2l2

⑩
答：
（1）射入的電子發生偏轉時向上偏轉．
（2）欲使射入的電子全部都能通過C所在區域，勻強磁場的磁感應強度B應滿足的條件是：B＜

6m v 2 0 d2

eωr2l2

．

點評：本題是電磁感應與電路、電場知識的綜合，關鍵是根據牛頓第二定律和運動學公式求出電子在豎直方向的最大位移y，可以運用v_y-t圖象分析電子在豎直方向的運動情況，便于理解．