Question

【題目】水平面上有一木板，質量為 M＝2kg，板左端放有質量為 m=1kg 的物塊（視為 質點），已知物塊與木板間動摩擦因數為μ1＝0.2，木板與水平面間的動摩擦因數為μ2＝0.4。設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取 g=10m/s2。

（1）現用水平力 F 拉動木板，為使物塊與木板一起運動而不相對滑動，求拉力 F 的 大小范圍？

（2）若拉動木板的水平力 F＝15N，由靜止經時間 t1=4s 立即撤去拉力 F，再經t2=1s物塊恰好到達板右端，求板長 L＝？

Answer 1

【答案】（1）12N＜F≤18N（2）1.4m

【解析】

（1）物塊與木塊一起運動，拉力F必須大于木板與地面之間的最大靜摩擦力，當m與M之間的摩擦力達到最大靜摩擦力時，拉力F達到最大值；

（2）拉動木板的水平力F=15N，在第（1）問拉力的范圍內，整體先做勻加速運動，撤去F后，m向右勻減速，M向右勻減速，當M靜止后，m繼續向右勻減速到木板右端，求出木板靜止前的相對位移和木板靜止后物塊的位移，即可求出木板的長度；

（1）M與地面之間的最大靜摩擦力f1=μ2(M+m)g＝0.4×(2+1)×10＝12N
當M、m整體一起向右勻加速運動時，當m與M的靜摩擦力達到最大靜摩擦力時，拉力F最大；

對m：μ1mg＝ma①

得a=μ1g＝0.2×10m/s2＝2m/s2
對整體：Fμ2(M+m)g＝(M+m)a②
代入數據：F-12=（2+1）×2
解得：F=18N
所以拉力F大小范圍是12N＜F≤18N
（2）拉動木板的水平力F=15N，M、m一起勻加速運動
根據牛頓第二定律：
t1＝4s時速度v1＝at1＝1×4m/s＝4m/s
撤去F后，物塊加速度a1＝μ1g＝2m/s2
對木板：μ1mgμ2(M+m)g＝Ma2，
代入數據：0.2×1012＝2 a2
解得：a2＝5m/s2
木板向右速度減為0的時間；根據題意t2=1s物塊恰好到達板右端

在t1時間內物塊的位移：

木板的位移：

物塊相對木板的位移△x＝x1-x2＝2.561.6＝0.96m
根據題意撤去力F后，再經t2=1s物塊恰好到達板右端
所以木板靜止后，木塊繼續運動0.2s
t1＝0.8s時物塊的速度v2=v1-a1t1＝42×0.8＝2.4m/s

木板長：L=△x+△x′=0.96+0.44=1.4m