Question

【題目】設空間存在三個相互垂直的已知場：電場強度為E的勻強電場，磁感應強度為B的勻強磁場和重力加速度為g的重力場。一質量為m、電荷量為q的帶正電的質點在此空間運動，已知在運動過程中，質點速度的大小恒定不變。

(i)試通過論證，說明此質點作何種運動（不必求出運動的軌跡方程）。

(ii)若在某一時刻，電場和磁場突然全部消失，已知此后該質點在運動過程中的最小動能為其初始動能（即電場和磁場剛要消失時的動能）的一半，試求在電場、磁場剛要消失時刻該質點的速度在三個場方向的分量。

Answer 1

【答案】(i)質點速度的方向也是不變的，即質點在給定的場中做勻速直線運動，其軌跡是直線，在Oxz平面內，與電場力和重力的合力垂直。 (ii)

【解析】

(i)在空間取如圖所示的直角坐標Oxyz，Ox軸沿電場方向，Oy軸沿磁場方向，Oz軸與重力方向相反。因為磁場作用于質點的洛侖茲力與磁場方向垂直，即在Oxz平面內；作用于質點的電場力和重力也在Oxz平面內，故質點在y方向不受力作用，其速度沿y方向的分速度的大小和方向都是不變的。根據題意，質點速度的大小是恒定不變的，而磁場作用于質點的洛侖茲力對質點不做功，故質點的速度沿垂直磁場方向的分速度的大小一定也是恒定不變的，故此分速度必須與電場力和重力的合力垂直。由于電場力和重力的合力的方向是不變的，故此分速度的方向也是不變的。由此可得到結論：質點速度的方向也是不變的，即質點在給定的場中做勻速直線運動，其軌跡是直線，在Oxz平面內，與電場力和重力的合力垂直。

(ii)質點作勻速直線運動表明電場、磁場和重力場對質點作用力的合力F等于0。設存在電場、磁場時質點速度的大小為v0，它在坐標系中的三個分量分別為v0x、v0y和v0z，這也就是在電場、磁場剛要消失時質點的速度在三個場方向的分量，以Fx、Fy和Fz分別表示F在坐標標系中的分量，則有

Fx=qEqv0zB=0 (1)

Fy=0 (2)

Fz=mg+qv0xB=0 (3)

由(1)、(3)式得

(4)

(5)

若知道了粒子的速率v0，粒子速度的y分量為

(6)

因為電場和磁場消失后，粒子僅在重力作用下運動，任何時刻t質點的速度為

vx=v0x (7)

vy=v0y (8)

vz=v0zgt (9)

當vx等于0時，粒子的動能最小，這最小動能

(10)

根據題意有

(11)

由(10)、(11)式得

(12)

由(4)、(5)、(6)、(12)各式得

(13)

評分標準：本題16分。第(i)小問4分。通過論證得到質點作勻速直線運動的結論得4分。第(ii)小問12分。(4)式3分，(5)式3分，求得(13)式6分。