Question

（1）如圖1，在光滑水平長直軌道上，放著一個靜止的彈簧振子，它由一輕彈簧兩端各連接一個小球構成，兩小球質量相等．現突然給左端小球一個向右的速度u₀，求彈簧第一次恢復到自然長度時，每個小球的速度．
（2）如圖2，將N個這樣的振子放在該軌道上，最左邊的振子1被壓縮至彈簧為某一長度后鎖定，靜止在適當位置上，這時它的彈性勢能為E₀．其余各振子間都有一定的距離，現解除對振子1的鎖定，任其自由運動，當它第一次恢復到自然長度時，剛好與振子2碰撞，此后，繼續發生一系列碰撞，每個振子被碰后剛好都是在彈簧第一次恢復到自然長度時與下一個振子相碰．求所有可能的碰撞都發生后，每個振子彈性勢能的最大值．已知本題中兩球發生碰撞時，速度交換，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度．

Answer 1

分析：（1）給左側小球一初速度，彈簧被壓縮后對兩個小球都有彈力，左側小球要減速，右側小球要加速，由于兩小球質量相等，故加速度相等，故右側小球增加的速度等于左側小球減小的速度，當速度相等時，彈簧被壓的最短，此后，右側小球進一步加速，左側小球進一步減速，當彈簧恢復原長時，可以根據動量守恒定律和能量守恒定律列式求解出各個小球的速度；
（2）第一個彈簧振子在線斷開后，兩側小球分別向兩側加速，右側小球與第二個彈簧振子的左側小球碰撞后靜止，其動量完全傳遞給了第二個彈簧振子的左側小球，此時第一個彈簧振子左側小球有向左的動量，當兩球速度相等時，第一個振子的彈簧最短，彈性勢能最大；根據第一題的分析，當第二個彈簧振子的左側小球速度為零時，其動量完全轉移到第二個彈簧振子的右側小球，然后第二個彈簧振子的右側小球的動量又轉移個下一個彈簧振子的左側小球，然后在轉移到右側小球，循環下去，一直轉移到最后一個彈簧振子的左側小球，最后一個彈簧振子系統不會與其他系統碰撞，一直向右運動，其內部兩個小球間動量不斷的相互轉移，與第一問中彈簧振子的運動情況相同，當兩球速度相等時，彈簧最短，彈性勢能最大．

解答：解：（1）設每個小球質量為m，以u₁、u₂分別表示彈簧恢復到自然長度時左右兩端小球的速度．
由動量守恒和能量守恒定律有
mu₁+mu₂=mu₀（以向右為速度正方向）

1

2

m

u

2 1

+

1

2

m

u

2 2

=

1

2

m

u

2 0

解得u₁=u₀，u₂=0或u₁=0，u₂=u₀
由于振子從初始狀態到彈簧恢復到自然長度的過程中，彈簧一直是壓縮狀態，彈性力使左端小球持續減速，使右端小球持續加速，因此應該取解：u₁=0，u₂=u₀
即彈簧第一次恢復到自然長度時，左側小球速度為0，右側小球速度為u₀．
（2）以v₁、v₁′分別表示振子1解除鎖定后彈簧恢復到自然長度時左右兩小球的速度，規定向右為速度的正方向，
由動量守恒和能量守恒定律，
mv₁+mv₁′=0

1

2

m

v

2 1

+

1

2

mv

′

2 1

=E0
解得
v1=

E0 m

，v1′=-

E0 m

或v1=-

E0 m

，v1′=

E0 m

在這一過程中，彈簧一直是壓縮狀態，彈性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故應取解：v1=-

E0 m

，v1′=

E0 m

振子1與振子2碰撞后，由于交換速度，振子1右端小球速度變為0，左端小球速度仍為v₁，此后兩小球都向左運動，當它們向左的速度相同時，彈簧被拉伸至最長，彈性勢能最大，設此速度為v₁₀，根據動量守恒定律：
2mv₁₀=mv₁
用E₁表示最大彈性勢能，由能量守恒有

1

2

m

v

2 10

+

1

2

m

v

2 10

+E1=

1

2

m

v

2 1

解得        
E1=

1

4

E0
振子2 被碰撞后瞬間，左端小球速度為

E0 m

，右端小球速度為0．以后彈簧被壓縮，當彈簧再恢復到自然長度時，根據（1）題結果，左端小球速度v₂=0，右端小球速度v2′=

E0 m

，與振子3碰撞，由于交換速度，振子2右端小球速度變為0，振子2靜止，彈簧為自然長度，彈性勢能為E₂=0．
同樣分析可得
E₂=E₃=…E_N-1=0
振子N被碰撞后瞬間，左端小球速度 v′N-1=

E0 m

，右端小球速度為0，彈簧處于自然長度．此后兩小球都向右運動，彈簧被壓縮，當它們向右的速度相同時，彈簧被壓縮至最短，彈性勢能最大．此速度為v_N0，根據動量守恒定律，
2mv_N0=mv?_N-1
用E_N表示最大彈性勢能，根據能量守恒，有

1

2

m

v

2 N0

+

1

2

m

v

2 N0

+EN=

1

2

m

v

2 N-1

解得       
 EN=

1

4

E0
故所有可能的碰撞都發生后第一個彈簧振子的最大彈性勢能為

1

4

E0，第二個到第N-1個彈簧振子的最大彈性勢能為0，第N個彈簧振子的最大彈性勢能為

1

4

E0．

點評：本題關鍵在于第一小問中彈簧振子的運動，其系統重心向右勻速，兩球速度交替增加與減小，當左側球速度為零時右側球速度最大，當右側球速度為零時左側球速度最大；同時第二問中要能夠找到循環的過程和兩個非循環的過程．