Question

（2011?安徽模擬）如圖所示，在平面直角坐標系XOY內，第I象限存在沿Y軸正方向的勻強電場，第IV象限內存在垂直于坐標平面向里的勻強磁場，磁感應強度大小設為B₁（未知），第III象限內也存在垂直于坐標平面向里的勻強磁場B₂（未知）．一質量為m的電子（電量為e，不計重力），從Y軸正半軸上Y=h處的M點，以速度v₀垂直于Y軸射入電場，經X軸上X=

2 3

3

h處的P點進入第IV象限磁場，然后從Y軸上Q點進入第III象限磁場，OQ=OP，最后從O點又進入電場．
（1）求勻強電場的場強大小E；
（2）求粒子經過Q點時速度大小和方向；
（3）求B₁與B₂之比為多少．

Answer 1

分析：（1）電子在電場中做類平拋運動，水平位移和豎直位移均已知，由牛頓第二定律和運動學公式，運用運動的分解法可求出場強大小E．
（2）由速度的合成法求出電子進入第IV象限磁場時的速度大小和方向，由幾何知識確定粒子經過Q點時的方向．電子在磁場中速度的大小不變．
（3）由幾何知識分別求出電子在兩種磁場中運動的軌跡半徑，由半徑公式即可求出B₁與B₂之比．

解答：解：（1）電子在電場中做類平拋運動，則
     x=v0t=

2

3

3

h
      h=

1

2

at2
又由牛頓第二定律得 a=

eE

m

解得：E=

3mv02

2eh

（2）畫出電子在磁場中運動的軌跡圖，
vy=at=

3

v0
∴v=

v 2 0 + v 2 y

=2v0
tanθ=

vy

v0

=

3

∴θ=60
∴∠OPO₁=30°     又∵OQ=OP
由幾何關系得∠OQO₁=∠OPO₁=30°
∴粒子到達Q點時速度方向與y軸正向成60°
（3）由幾何關系得  r1cos30°+r1sin30°=op=

2

3

3

h
∴r1=(2-

2

3

3

)h
又r1=

mv

eB1

=

2mv0

eB1

進入B₂后，
由幾何關系得：2r2cos30°=OQ=OP=

2

3

3

h
∴r2=

2

3

h
又r2=

2mv0

eB2

∴

B1

B2

=

r2

r1

=

3+ 3

6

答：
（1）勻強電場的場強大小E是

3m v 2 0

2eh

；
（2）粒子經過Q點時速度大小為2v₀，方向與y軸正向成60°；
（3）B₁與B₂之比為

3+ 3

6

．

點評：本題是帶電粒子在電場和磁場中運動的問題，畫出軌跡，運用幾何知識求出電子的軌跡半徑是解題的關鍵，同時要抓住幾個過程之間的聯系，比如速度關系、位移關系等