Question

如圖所示，光滑水平軌道右端B處平滑連接著一個在豎直面內、半徑為R的光滑半圓軌道，在距離B為x的A點，用水平恒力F（未知）將質量為m的物塊（可視為質點），從靜止開始推到B處，且物塊到B處時立即撤去恒力F，物塊沿半圓軌道運動到軌道最高點C處后，又正好落回A點．已知重力加速度為g．求：
（1）水平恒力F對物塊所做的功與物塊在光滑水平軌道運動的位移x的關系；
（2）x取何值時，完成上述運動水平恒力F對物塊所做的功最少，功的最小值為多少；
（3）x取何值時，完成上述運動水平恒力F最小，最小的力為多大．

Answer 1

（1）設物塊在C點的速度為v_c，物塊從C點運動到A點所用時間為t，物塊從半圓弧軌道的最高點C點做平拋運動落到A點．根據平拋運動規律有：
   x=v_ct，2R=

1

2

gt2               
解得：v_c=

x

2

g R

設物塊從A到B的運動過程中，水平但力F對物塊所做的功為W，對于物塊從A到C的運動過程，根據動能定理有：
W-mg?2R=

1

2

m

v

2c

 解得：W=2mgR+

mgx2

8R

（2）物塊恰好通過最高點C時，在C點有最小速度v_min，根據牛頓第二定律有：
    mg=m

v 2min

R

             解得：v_min=

gR

        
此時所對應的水平恒力對物體所做的功最少，且有v_c=

x

2

g R

=

gR

解得：x=2R    
所以，當x=2R時恒力F所做的功最少．          
將x=2R 代入第（1）問的結果中，解得最小功W=

5

2

mgR
（3）W=Fx，第（1）問討論可知：Fx=2mgR+

mgx2

8R

    解得：F=

2mgR

x

+

mgx

8R

因等式右端兩項之積為恒量，所以當兩項相等時其和有極小值．
由=

2mgR

x

=

mgx

8R

，得x=4R 時水平恒力F最�。�                  
解得最小力F_min=mg  
答：（1）水平恒力F對物塊所做的功與物塊在光滑水平軌道運動的位移x的關系為W=2mgR+

mgx2

8R

；
    （2）當x=2R時，完成上述運動水平恒力F對物塊所做的功最少，功的最小值為

5

2

mgR；
    （3）當x=4R時，完成上述運動水平恒力F最小，最小的力為mg．