Question

（2006?福建模擬）如圖所示，一帶負電的質點從x軸上的A點以恒定的速率υ沿與x軸成30°角的方向進入勻強磁場，在xoy平面內運動到達x軸上的B點，其軌跡如圖所示，圖中x軸上方的軌跡都是半徑為R的圓弧，下方都是半徑為r的圓弧，R＞r，從A點到達B點時，一共經過x軸2N次（不含出發點A，N為正整數），不計質點的重力．求：
（1）試盡可能完整地描述磁場的分布情況；
（2）此質點沿x軸方向由A運動到B的平均速度的大小．

Answer 1

分析：（1）根據帶負電質點運動軌跡和速度方向，由左手定則可以判斷磁場方向，結合洛倫茲力提供向心力可求得x軸上方的磁感應強度和x軸下方的磁感應強度的大小關系；
（2）由圖可以判斷質點在x軸上方運動了N個

1

6

圓弧，在x軸下方運動了N個

5

6

圓弧，從而可以求得質點運動的總位移和總時間，利用平均速度的定義求解．

解答：解：（1）根據帶負電質點運動軌跡和速度方向，由左手定則判斷，可知x軸上、下方磁場方向均垂直xOy平面，沿著z軸的負方向．
設質點的質量為m、電荷量為q、在x軸上方和x軸下方的磁感應強度分別為B₁、B₂，由洛倫茲力公式及牛頓運動定律，有
qυB₁=

mv2

R

     ①
qυB₂=

mv2

r

      ②
解得：

B1

B2

=

r

R

     ③
即x軸上方的磁感應強度是x軸下方的磁感應強度

r

R

倍；
（2）由A到B，帶電質點在x軸上方運動了N個

1

6

圓弧，在x軸下方運動了N個

5

6

圓弧
則其位移：x₁=N?2Rsin30°=NR，x₂=N?2rsin30°=Nr
△x=N?（R-r）                        ④
其所經歷的時間△t=N?

π(R+r)

v

          ⑤
帶電質點在x軸上方運動的時間  t₁=N?

T1

6

帶電質點在x軸下方運動的時間  t₂=N?

5T2

6

             ⑥
T₁=

2πR

v

，T₂=

2πr

v

                             ⑦
△t=t₁+t₂=

Nπ(R+5r)

3v

              ⑧
所以沿x方向運動的平均速度為：

.

v

=

△x

△t

=

3v(R-r)

π(R+5r)

 答：（1）x軸上、下方磁場方向均垂直xOy平面，沿著z軸的負方向．x軸上方的磁感應強度是x軸下方的磁感應強度

r

R

倍；
（2）質點沿x軸方向由A運動到B的平均速度的大小為

3v(R-r)

π(R+5r)

．

點評：本題主要考查了平均速度的定義，知道平均速度等于總位移除以總時間．