Question

如圖所示，水平桌面上有一輕彈簧，左端固定在A點，自然狀態時其右端位于B點。水平桌面右側某一位置有一豎直放置的、左上角有一開口的光滑圓弧軌道MNP，其半徑為R=0.5m，∠PON=53°，MN為其豎直直徑，P點到桌面的豎直距離是h=0.8m。如用質量m₁=0.4kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊恰停止在桌面邊緣D點。現換用同種材料制成的質量為m₂=0.2kg的物塊將彈簧緩慢壓縮到C點，釋放后物塊能飛離桌面并恰好由P點沿切線滑入光滑圓軌道MNP(g取10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6).

（1）求物體m₂運動到M點時受到軌道的壓力；

（2）求彈簧的彈性勢能E_P；

（3）如圓弧軌道的位置以及∠PON可任意調節，使從C點釋放又從D點滑出的質量為m=km₁物塊都能由P點沿切線滑入圓弧軌道，并且還能通過最高點M，求k的取值范圍。

Answer 1

解：

（1）設物塊塊由D點以初速做平拋，落到P點時其豎直速度為

                                                ………（1分）

，得                                 ………(1分)

若物塊到達M點速度為, 

     解得：             …………(2分)

（或：M與D等高，由機械能守恒得：         …………（2分）

     軌道對物塊的壓力為F_N，則解得     ………(2分)

  （2）設彈簧長為AC時的彈性勢能為E_P，物塊與桌面間的動摩擦因數為，

       釋放m₁時，                                 …………(1分)

釋放m₂時，,                           …………(1分)

                                                 ……(2分)

 (3)設質量為km₁的物塊，到M點的最小速度為v，

，（運算中直接用到照樣得分），    ………(1分)

，                                    …………(1分)

                                                     …………(1分)

                                           …………(1分)

解得：                                   …………(1分)