Question

（2013?日照一模）如圖所示，在直角坐標(biāo)系xoy的第一、四象限區(qū)域內(nèi)存在兩個(gè)有界的勻強(qiáng)磁場：垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場I、垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場II，O、M、P、Q為磁場邊界和x軸的交點(diǎn)OM=MP=L．在第三象限存在沿y軸正向的勻強(qiáng)電場．一質(zhì)量為m、帶電荷量為+q的粒子從電場中坐標(biāo)為（-2L，-L）的點(diǎn)以速度υ₀沿+x方向射出，恰好經(jīng)過原點(diǎn)O處射入?yún)^(qū)域I又從M點(diǎn)射出區(qū)域I（粒子的重力忽略不計(jì)）．
（1）求第三象限勻強(qiáng)電場場強(qiáng)E的大小；
（2）求區(qū)域I內(nèi)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）如帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，問區(qū)域II內(nèi)磁場的寬度至少為多少？粒子兩次經(jīng)過原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為多少？

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的分解法，由牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解場強(qiáng)E的大小；
（2）帶電粒子進(jìn)入磁場后，由洛倫茲力提供向心力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)．由題意，粒子經(jīng)過原點(diǎn)O處射入?yún)^(qū)域I又從M點(diǎn)射出區(qū)域I，畫出軌跡，由幾何知識(shí)求出軌跡半徑，由牛頓第二定律即可求得磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
（3）當(dāng)帶電粒子恰好能再次回到原點(diǎn)O，在磁場Ⅱ中軌跡恰好與其右邊界相切，畫出軌跡，由幾何關(guān)系即可求出磁場的寬度．分段求出時(shí)間，即可求得總時(shí)間．

解答：解：（1）帶電粒子在勻強(qiáng)電場中做類平拋運(yùn)動(dòng)，則有
   水平方向：2L=v₀t
   豎直方向：L=

1

2

qE

m

(

2L

v0

)2
聯(lián)立解得，E=

m v 2 0

2qL

（2）設(shè)到原點(diǎn)時(shí)帶電粒子的豎直分速度為v_y
則 vy=

qE

m

t=

qE

m

2L

v0

=v0
則粒子進(jìn)入磁場時(shí)速度大小為  v=

2

v0，方向與x軸正向成45° 
粒子進(jìn)入?yún)^(qū)域Ⅰ做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由幾何知識(shí)可得軌跡半徑為  R1=

2

2

L
由洛倫茲力充當(dāng)向心力，則有 Bqv=m

v2

R1

可解得：B=

mv

qR 1

=

2mv0

qL

（3）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖．
在區(qū)域Ⅱ做勻速圓周的半徑為 R2=

2

L
帶電粒子能再次回到原點(diǎn)的條件是區(qū)域Ⅱ的寬度 d ≥R2+L=(

2

+1)L
粒子從O到M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t1=

π 2 2 2 L

2 v0

=

πL

4v0

粒子從M到N的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t2=

2 L

2 v0

=

L

v0

粒子在區(qū)域Ⅱ中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間 t3=

3π 2 2 L

2 v0

=

3πL

2v0

粒子兩次經(jīng)過原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為 t總=2(t1+t2)+t3=

2(1+π)L

v0

答：（1）第三象限勻強(qiáng)電場場強(qiáng)E的大小是

m v 2 0

2qL

；
（2）區(qū)域I內(nèi)勻強(qiáng)磁場磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小是

2mv0

qL

；
（3）如帶電粒子能再次回到原點(diǎn)O，區(qū)域II內(nèi)磁場的寬度至少為（

2

+1）L，粒子兩次經(jīng)過原點(diǎn)O的時(shí)間間隔為

2(1+π)L

v0

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查帶電粒子在電磁場中的運(yùn)動(dòng)，注意在磁場中的運(yùn)動(dòng)要注意幾何關(guān)系的應(yīng)用，在電場中注意由類平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求解．