Question

【題目】如圖所示，固定斜面足夠長，斜面與水平面的夾角α=30°，一質量為3m的“L”型工件沿斜面以速度v0勻速向下運動，工件上表面光滑，下端為擋板．某時，一質量為m的小木塊從工件上的A點，沿斜面向下以速度v0滑上工件，當木塊運動到工件下端時（與擋板碰前的瞬間），工件速度剛好減為零，后木塊與擋板第1次相碰，以后每隔一段時間，木塊就與工件擋板碰撞一次，已知木塊與擋板都是彈性碰撞且碰撞時間極短，木塊始終在工件上運動，重力加速度為g，求：

（1）木塊滑上工件時，木塊、工件各自的加速度大小；
（2）木塊與擋板第1次碰撞后的瞬間，木塊、工件各自的速度大小；
（3）木塊與擋板第1次碰撞至第n（n=2，3，4，5，…）次碰撞的時間間隔及此時間間隔內木塊和工件組成的系統損失的機械能△E．

Answer 1

【答案】
（1）

解：設工件與斜面間的動摩擦因數為μ，木塊加速度為a1，工件的加速度為a2．

根據牛頓第二定律得：

對木塊：mgsinα=ma1．

對工件：μ（3m+m）gcosα﹣3mgsinα=3ma2．

工件勻速運動時，由平衡條件得：μ3mgcosα=3mgsinα

解得 a1= ，a2=

（2）

解：設碰擋板前木塊的速度為v，取沿斜面向下為正方向為正方向，由動量守恒定律得：

3mv0+mv0=mv

得 v=4v0．

木塊以速度v與擋板發生彈性碰撞，設碰后木塊的速度為v1，工件的速度為v2，由動量守恒定律得：

mv=mv1+3mv2．

由能量守恒得：

mv2= mv12+ 3mv22．

解得 v1=﹣2v0，v2=2v0

（3）

解：第1次碰撞后，木塊以2v0沿工件向上勻減速運動，工件以2v0沿斜面向下勻減速運動，工件速度再次減為零的時間

t= =

木塊的速度 v1′=﹣2v0+a1t=4v0．

此時，木塊的位移 x1=﹣2v0t+ =

工件的位移 x2=2v0t﹣ =

即木塊、工件第2次相碰前瞬間的速度與第1交相碰前的瞬間速度相同，以后木塊、工件重復前面的運動過程，則第1次與第n次碰撞的時間間隔

△t=（n﹣1）t= ，（n=2，2，3，4，…）

木塊、工件每次碰撞時，木塊和工件的總動能都相等，△t時間內木塊、工件減少的機械能等于木塊、工件減少的重力勢能．

△E=4mg（n﹣1）x2sin30°

解得△E=24（n﹣1）mv02，（n=2，2，3，4，…）

【解析】（1）運用隔離法，根據牛頓第二定律求木塊、工件各自的加速度大小；（2）由動量守恒定律求出碰擋板前木塊的速度，由動量守恒定律和能量守恒定律求木塊與擋板第1次碰撞后的瞬間，木塊、工件各自的速度大小；（3）第1次碰撞后，木塊以2v0沿工件向上勻減速運動，工件以2v0沿斜面向下勻減速運動，根據速度公式求工件速度再次減為零的時間，并由位移公式求出位移．木塊、工件第2次相碰前瞬間的速度與第1交相碰前的瞬間速度相同，以后木塊、工件重復前面的運動過程，再求得第1次與第n次碰撞的時間間隔．此時間間隔內木塊和工件組成的系統損失的機械能△E等于木塊、工件減少的重力勢能．
【考點精析】本題主要考查了功能關系和動量守恒定律的相關知識點，需要掌握當只有重力（或彈簧彈力）做功時，物體的機械能守恒；重力對物體做的功等于物體重力勢能的減少:W G =E p1 -E p2；合外力對物體所做的功等于物體動能的變化:W 合 =E k2 -E k1 （動能定理）；除了重力（或彈簧彈力）之外的力對物體所做的功等于物體機械能的變化:W F =E 2 -E 1；動量守恒定律成立的條件：系統不受外力或系統所受外力的合力為零；系統所受的外力的合力雖不為零，但系統外力比內力小得多；系統所受外力的合力雖不為零，但在某個方向上的分量為零，則在該方向上系統的總動量的分量保持不變才能正確解答此題．