Question

（2013?南京模擬）在水平地面上豎直固定一根內壁光滑的圓管，管的半徑R=3.6m（管的內徑大小可以忽略），管的出口A在圓心的正上方，入口B與圓心的連線與豎直方向成60°角，如圖所示．現有一只質量m=1kg的小球（可視為質點）從某點P以一定的初速度水平拋出，恰好從管口B處沿切線方向飛入，小球到達A時恰好與管壁無作用力．取g=10m/s²．求：
（1）小球到達圓管最高點A時的速度大小；
（2）小球在管的最低點C時，管壁對小球的彈力大小；
（3）小球拋出點P到管口B的水平距離x．

Answer 1

分析：（1）小球到達A時恰好與管壁無作用力，由重力提供向心力，列式可求得小球到達A點的速度大小．
（2）小球從管的最低點到最高點A，管子的彈力不做功，其機械能守恒，列式可求解出瀕于經過C點時的速度大小．在最低點，由重力和管子的彈力的合力提供向心力，根據牛頓第二定律列式求出管壁對小球的彈力大小．
（3）從B到A的過程，運用機械能守恒列式，可求出B點的速度．運用分解法，可求出平拋運動的初速度和B點的豎直分速度，由v_y=gt求出平拋運動的時間，小球的拋出點到管口B的水平距離x=v₀t．

解答：解：（1）小球在最高時對管壁無作用力，重力提供向心力，由向心力公式得：
mg=

m v 2 A

R

可得小球到達圓管最高點時的速度為：
v_A=

gR

=

10×3.6

m/s=6m/s
（2）設最低點C的速度為v，小球從管的最低點到最高點A，由機械能守恒定律可知：mg?2R=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

，
可得：v²=4gR+v

2 A

=（4×10×3.6+6²）m²/s²=180（m²/s²）
在最低點，由向心力公式可知 FN-mg=

mv2

R

，
可得：F_N=mg+

mv2

R

=（1×10+

1×180

3.6

）N=60N，方向豎直向上    
（3）設B點的速度為v_B，由機械能守恒定律可知：
mg?（R+Rcos60°）=

1

2

m

v

2 B

-

1

2

m

v

2 A

，
代入數據解得：v_B=12m/s
由平拋運動規律可知，小球做平拋運動過程的初速度為：
v₀=v_Bcos60°=12×

1

2

m/s=6m/s，
在B點時的豎直速度為：v_y=v_Bsin60°=12×

3

2

m/s=6

3

m/s
由v_y=gt可知：t=

vy

g

=

6 3

10

=

3 3

5

s
由x=v₀t可知，小球的拋出點到管口B的水平距離為：
x=v₀t=6×

3 3

5

m=

18 3

5

m
答：（1）小球到達圓管最高點A時的速度大小為6m/s；
（2）小球在管的最低點C時，管壁對小球的彈力大小為60N；
（3）小球拋出點P到管口B的水平距離x為

18 3

5

m．

點評：本題是平拋運動、牛頓第二定律和機械能守恒定律等知識的綜合應用，按程序法進行分析，關鍵要靈活選擇研究的過程和狀態．