Question

如圖甲所示，固定于水平桌面上的金屬導軌abcd足夠長，金屬棒ef擱在導軌上，可無摩擦地滑動，此時bcfe構成一個邊長為l的正方形．金屬棒的電阻為r，其余部分的電阻不計．在t=0的時刻，導軌間加一豎直向下的磁場，磁感應強度隨時間的變化如圖乙所示．為使金屬棒ef在0-t₁保持靜止，在金屬棒ef上施加一水平拉力F，從t₁時刻起保持此時的水平拉力F不變，金屬棒ef在導軌上運動了s后剛好達到最大速度，求：
（1）在t=

t1

2

時刻該水平拉力F的大小和方向；
（2）金屬棒ef在導軌上運動的最大速度；
（3）從t=0開始到金屬棒ef達到最大速度的過程中，金屬棒ef中產生的熱量．

Answer 1

分析：（1）由法拉第電磁感應定律求出感應電動勢，由F=BIL求出安培力，由楞次定律判斷出感應電流的方向，由左手定則判斷出安培力的方向，由平衡條件求出拉力大小與方向；
（2）當拉力與安培力相等時，導體棒做勻速運動，速度達到最大，求出拉力，根據安培力公式求出導體棒的最大速度；
（3）由焦耳定律求出導體棒靜止時產生的焦耳熱，由能量守恒定律求出導體棒運動時產生的焦耳熱，然后求出整個過程產生的焦耳熱．

解答：解：（1）

t1

2

時刻，感應電動勢E=

△B

△t

S=

B1l2

t1

，
導體棒受到的安培力F安=

B1

2

?I?l=

B1

2

?

B1l2 t1

r

?l=

B 2 1 l3

2rt1

，
由楞次定律可知，感應電流從f流向e，由左手定則可知，導體棒受到的安培力向左；
由平衡條件可知，此時水平拉力F=

B 2 1 l3

2rt1

，方向水平向右；
（2）導體棒切割磁感線產生感應電動勢，
當金屬棒的速度最大時，感應電動勢E′=B₁lv_m，
此時導體棒受到的安培力F安′=B1?

B1lvm

r

?l，
此時水平拉力F′=2×

B 2 1 l3

2rt1

=

B 2 1 l3

rt1

，
當安培力與拉力合力為零時，導體棒做勻速直線運動，此時速度最大，
即：F′=F安′，

B 2 1 l3

rt1

=B1?

B1lvm

r

?l；
解得，導體棒的最大速度：vm=

l

t1

；
（3）金屬棒靜止時的感應電流：

I

1

=

B1l2

rt1

，
產生的焦耳熱：Q1=

I

2 1

rt1=

B 2 1 l4

rt1

，
金屬棒從開始運動到最大速度階段，
由能量守恒定律，得：Q2=Fs-

1

2

m

v

2 m

=

B 2 1 l3

rt1

?s-

1

2

m(

l

t1

)2=

B 2 1 l3s

rt1

-

ml2

2 t 2 1

，
全過程產生的焦耳熱Q=Q1+Q2=

B 2 1 l3(l+s)

rt1

-

ml2

2 t 2 1

；
答：（1）在t=

t1

2

時刻該水平拉力F的大小為

B 2 1 l3

2rt1

，方向水平向右；
（2）金屬棒ef在導軌上運動的最大速度是

l

t1

；
（3）從t=0開始到金屬棒ef達到最大速度的過程中，金屬棒ef中產生的熱量是

B 2 1 l3(l+s)

rt1

-

ml2

2 t 2 1

．

點評：導體棒靜止時，磁感應強度均勻變化，產生的感應電動勢是定值，感應電流是定值，但導體棒受到的安培力F=-BIL是變力；導體棒在拉力作用下向右運動時，做的是加速度逐漸減小的加速運動，最后做勻速直線運動，對導體棒正確受力分析，分析清楚導體棒的運動過程是正確解題的關鍵．