Question

A、B兩行星在同一平面內繞同一恒星做勻速圓周運動，運行方向相同，A的軌道半徑為r_l，B的軌道半徑為r₂．已知恒星質量為M，恒星對行星的引力遠大于行星間的引力，兩行星的軌道半徑r₁＜r₂．若在某時刻兩行星相距最近，試求：
（1）再經過多少時間兩行星距離又最近？
（2）再經過多少時間兩行星距離又最遠？

Answer 1

分析：（1）A、B兩行星距離最近時A、B與恒星在同一條圓半徑上．根據恒星對行星的萬有引力提供向心力列式，得到行星角速度的表達式．根據A、B距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…），求出時間．
（2）A、B相距最遠的條件是：ω₁t′-ω₂t'=（2k-1）π（k=1，2，3…），可求出時間．

解答：解：（1）A、B兩行星距離最近時A、B與恒星在同一條圓半徑上．  A、B運動方向相同，A更靠近恒星，A的轉動角速度大、周期短．如果經過時間t，A、B與恒星連線半徑轉過的角度相差2π的整數倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近．
設A、B的角速度分別為ω₁，ω₂，經過時間t，A轉過的角速度為ω₁t，B轉過的角度為ω₂t．A、B距離最近的條件是：ω₁t-ω₂t=n×2π（n=1，2，3…）
恒星對行星的引力提供向心力，則：

GMm

r2

=mrω2，ω=

GM r13

由此得出：ω1=

GM r13

，ω2=

GM r23

，
求得：t=

2πn

GM r13 - GM r23

(n=1，2，3…)
（2）如果經過時間tˊ，A、B轉過的角度相差π的奇數倍時，則A、B相距最遠，
即：ω₁t′-ω₂t'=（2k-1）π（k=1，2，3…），得：t′=

(2k-1)π

ω1-ω2

把ω₁、ω₂代入得：t′=

(2k-1)π

GM r13 - GM r23

(k=1，2，3…)
答：
（1）再經過時間

2πn

GM r 3 1 - GM r 3 2

（n=1，2，3，…）時兩行星距離又最近．
（2）再經過時間

(2k-1)π

GM r 3 1 - GM r 3 2

（k=1，2，3，…）時兩行星距離又最遠．

點評：本題根據處理衛星問題的基本思路：萬有引力等于向心力的基礎上，抓住圓周運動的周期性，運用數學知識求解時間．