Question

正電子發射計算機斷層（PET）是分子水平上的人體功能顯像的國際領先技術，它為臨床診斷和治療提供全新的手段．
（1）PET在心臟疾病診療中，需要使用放射正電子的同位素氮13示蹤劑．氮13是由小型回旋加速器輸出的高速質子轟擊氧16獲得的，反應中同時還產生另一個粒子，試寫出該核反應方程．
（2）PET所用回旋加速器示意如圖，其中置于高真空中的金屬D形盒的半徑為R，兩盒間距為d，在左側D形盒圓心處放有粒子源S，勻強磁場的磁感應強度為B，方向如圖所示．質子質量為m，電荷量為q．設質子從粒子源S進入加速電場時的初速度不計，質子在加速器中運動的總時間為t（其中已略去了質子在加速電場中的運動時間），質子在電場中的加速次數于回旋半周的次數相同，加速質子時的電壓大小可視為不變．求此加速器所需的高頻電源頻率f和加速電壓U．
（3）試推證當R＞＞d時，質子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的時間可忽略不計（質子在電場中運動時，不考慮磁場的影響）．

Answer 1

分析：（1）書寫核反應方程式：反應物和生成物質量數守恒核電荷數守恒．
（2）粒子每做半個圓周運動便加速一次，而相鄰的兩次加速場強相反，故電場和粒子圓周運動的周期相同．且粒子離開加速器時圓周運動的軌道半徑等于D形盒的半徑．根據qvB=m

v2

R

和E_K=nqU即可解出答案．
（3）在電場中的總的運動可以看做連續的勻加速直線運動，故根據平均速度公式可得在電場中運動時間為：t1=

nd

v 2

=

2nd

v

，在D形盒中運動時間為t₂=n

T

2

故t2=n

πR

v

解答：解：（1）核反應方程為：₈¹⁶O+₁¹H→₇¹³N+₂⁴He①
（2）設質子加速后最大速度為v，由牛頓第二定律得得：qvB=m

v2

R

②
質子的回旋周期為：T=

2πR

v

=

2πm

qB

③
離頻電源的頻率為：f=

1

T

=

qB

2πm

④
質子加速后的最大動能為：EK=

1

2

mv2⑤
設質子在電場中加速的次數為n，則：E_K=nqU⑥
又t=n

T

2

⑦
可解得：U=

πBR2

2t

⑧
（3）在電場中加速的總時間為：t1=

nd

v 2

=

2nd

v

⑨
在D形盒中回旋的意時間為t2=n

πR

v

⑩
故  

t1

t2

=

2d

πR

?1  
即只有當R?d時，質子在電場中加速的總時間相對于在D形盒中回旋的時間可忽略不計．

點評：①質量數守恒但質量不守恒，故用箭頭而不用等號．②粒子離開加速器時圓周運動的軌道半徑等于D形盒的半徑．③在電場中的總的運動可以看做連續的勻加速直線運動．以上三點是我們解決此類題目的突破口．