Question

附加題
如圖，豎直放置的斜面AB的下端與光滑的圓弧軌道BCD的B端相切，C為圓弧最低點，圓弧半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，∠COB=θ．現有一個質量為m的小物體從A點無初速滑下，已知小物體與斜面間的動摩擦因數為μ，求：
（1）小物體在斜面上滑行的總路程；
（2）小物體通過C點時，對C點的最大壓力和最小壓力．

Answer 1

分析：（1）由幾何知識得知，斜面的傾角等于30°．物體從A點無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運動時機械能不斷減小，到達的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運動，到達B點的速度為零．物體在斜面上運動時摩擦力大小為μmgcosθ，總是做負功，滑動摩擦力做的總功與總路程成正比，根據動能定理求解總路程．
（2）當物體第一次經過C點時，速度最大，對C點的壓力最大，當最后穩定后，物體在BE之間運動時，經過C點時速度最小，物體對C點的壓力最小，根據動能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運動定律求解最大壓力和最小壓力．

解答：解：（1）設物體在斜面上滑行的總路程為S．對物體從A到B（或E）的過程，應用動能定理得
     mgRcosθ-μmgcosθS=0
解得   S=

R

μ

（2）當物體第一次經過C點時，速度最大，設為v_C1．由幾何知識得到，AB的長度AB=Rcotθ
對A到C過程，由動能定理得
    mgR-μmgcosθRcotθ=

1

2

m

v

2 C1

設軌道對物體的支持力F₁，由牛頓第二定律得
   F₁-mg=m

v 2 C1

R

 聯立解得F₁=3mg-2μmgcosθcotθ 
當最后穩定后，物體在BE之間運動時，設物體經過C點的速度為v_C2，由動能定理得
   mgR（1-cosθ）=

1

2

m

v

2 C1

設軌道對物體的支持力F₂，由牛頓第二定律得
   F₂-mg=m

v 2 C2

R

聯立解得  F₂=3mg-2mgcosθ
由牛頓第三定律可知，物體對C點的最大壓力為3mg-2μmgcosθcotθ，
最小壓力為3mg-2mgcosθ
答：（1）小物體在斜面上滑行的總路程是

R

μ

；
   （2）物體對C點的最大壓力為3mg-2μmgcosθcotθ，最小壓力為3mg-2mgcosθ．

點評：本題是動能定理與牛頓運動定律的綜合應用，關鍵是分析物體的運動過程，抓住滑動摩擦力做功與路程有關這一特點．