Question

在某個半徑為R=2×10⁶m的行星表面，對于一個質量m₀=1kg的砝碼，用彈簧稱量，其重力大小G₀=8N。則：
（1）證明：GM=g₀R²（其中，M為該行星的質量，g₀為該行星表面的重力加速度。）
（2）求該行星的第一宇宙速度。
（3）若一衛星繞該行星做勻速圓周運動，且測得該衛星繞行N圈所用時間為t，則該衛星離行星表面的高度是多少？（最終結果用R、G₀、m₀、N、t等字母表述，不必用具體數字代算。）

Answer 1

（1）見解析（2）（3）

（11分）
（1）設一質量m₀的物體靜止的放置于該行星表面上，行星的引力提供其重力，即：

……………………………………………………2分
（2）由萬有引力定律和向心力公式得：
…………………………………………………2分
又………………………………………1分
……………………………………2分
（3）設該衛星距行星表面高度為h，由題意得：
…………………………………………………………1分
……………………………………2分

聯立各式得……………………………………1分