Question

（2009?韶關二模）如圖中上圖所示，有兩塊大小不同的圓形薄板（厚度不計），質量分別為M和m，半徑分別為R和r，兩板之間用一根長為0.4m不可伸長的輕繩連接．開始時，兩板水平放置并疊合在一起，靜止于高度為0.2m處．兩板釋放后自由下落到一固定支架C上，支架上有一半徑為R′（r＜R′＜R）的圓孔，圓孔與兩薄板中心均在圓板中心軸線上，木板與支架發生碰撞碰，碰撞過程中無機械能損失．撞后兩板立刻分離，直到輕繩繃緊．輕繩繃緊的瞬間，兩物體具有共同速度V，如圖中下圖所示． （g=10m/s²）求：
（1）若M=m，則V值為多大？
（2）若M/m=K，試討論 V的方向與K值間的關系．

Answer 1

分析：（1）開始 M與m自由下落，機械能守恒．M與支架C碰撞后，碰撞過程中無機械能損失，M以原速率返回，向上做勻減速運動．m向下做勻加速運動．當M與m的位移大小之和等于繩長時，繩子繃緊，根據位移公式和位移之和等于繩長求出時間，由速度公式求出繩繃緊前兩物體的速度．在繩繃緊瞬間，內力（繩拉力）很大，可忽略重力，認為在豎直方向上M與m系統動量守恒，根據動量守恒定律求出V．
（2）根據V與K的關系式，討論分析V的方向．

解答：解：（1）M和m一起下落過程，據機械能守恒得：
（M+m）gh=

1

2

（M+m）V₀²       
解得：V₀═2m/s　　（2分）
M碰撞支架后以Vo返回作豎直上拋運動，m向下做勻加速運動．在繩繃緊瞬間，M速度為V₁，上升高度為h₁，m的速度為V₂，下落高度為h₂．設經過時間t繩子繃緊，則：
     h₁=V₀t-

1

2

gt²
     h₂=V₀t+gt²
又   h₁+h₂=0.4m 
得到：h₁+h₂=2V₀t，
解得：t=0.1s．
所以：V₁=V₀-gt=2-10×0.1=1m/s 
      V₂=V₀+gt=2+10×0.1=3m/s
繩子繃緊過程，取向下為正方向，根據動量守恒得：
   mV₂-MV₁=（M+m）V，
那么當m=M時，V=1m/s，方向向下；
（2）當

M

m

=K時，V=

V2-KV1

K+1

=

3-K

K+1

．
討論：①K＜3時，V＞0，兩板速度方向向下．
②K＞3時，V＜0，兩板速度方向向上．
③K=3時，V=0，兩板瞬時速度為零，接著再自由下落．
答：（1）若M=m，V值為1m/s．
    （2）當

M

m

=K時，①K＜3時，V＞0，兩板速度方向向下．②K＞3時，V＜0，兩板速度方向向上．③K=3時，V=0，兩板瞬時速度為零，接著再自由下落．

點評：此題涉及四個過程：兩物體一起自由下落、M與板碰撞、兩物體分別向下和向上運動、繩繃緊，將全過程分成若干個子過程進行研究，同時尋找各個過程的規律，這是解決復雜問題的基本思想．
求“撞后兩板立刻分離，直到輕繩繃緊”的時間也可用相對運動的知識求解（兩物體做相對速度為4m/s、相對位移為0.4m的勻速直線運動），可以簡化過程．