Question

如圖所示，勁度系數為k的輕彈簧，左端連著絕緣介質小球B，右端連在固定板上，放在光滑絕緣的水平面上．整個裝置處在場強大小為E、方向水平向右的勻強電場中．現有一質量為m、帶電荷量為+q的小球A，從距B球為S處自由釋放，并與B球發生碰撞．碰撞中無機械能損失，且A球的電荷量始終不變．已知B球質量為A球質量的3倍，A、B小球均可視為質點．求：
（1）A球與B球碰撞前瞬間的速度v₀；
（2）求A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）B球被碰后的運動為周期性運動，其運動周期T=2π

M k

，要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，求勁度系數k的可能取值．

Answer 1

分析：（1）小球A從距B球為S處自由釋放后，在電場力作用下做勻加速運動，根據動能定理求解與B球碰撞前瞬間的速度v₀；
（2）碰撞過程中A、B的總動量守恒、機械能也守恒，即可由兩大守恒定律求解球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度v₁和B球的速度v₂；
（3）B球被碰后做簡諧運動，具有周期性，A向左做勻減速運動，要使A球與B球第二次仍在B球的初始位置迎面相碰，A球重新回到O處所用的時間t恰好等于B球的（n+

1

2

）T．根據牛頓第二定律和運動學公式結合求出A運動時間t，即可求解出勁度系數k的可能取值．

解答：解：（1）設A球與B球碰撞前瞬間的速度為v₀，
由動能定理得，qES=

1

2

m

v

2 0

 
解得：v₀=

2qES m

（2）碰撞過程中動量守恒，則有 mv₀=mv₁+Mv₂ 
機械能無損失，有  

1

2

m

v

2 0

=

1

2

m

v

2 1

+

1

2

M

v

2 2

聯立上兩式解得  v₁=-

1

2

v0=-

2qES m

  方向向左，v₂=

1

2

v0=

2qES m

方向向右．
（3）要使m與M第二次迎面碰撞仍發生在原位置，則必有A球重新回到O處所用的時間t恰好等于B球的（n+

1

2

）T．（n=0、1、2、3 …）
A球運動的加速度為 a=

qE

m

，t=

2v1

a

=（n+

1

2

）T，
又由題意，T=2π

M k

，解得：k=

6π2qE

S

(n+

1

2

)2（n=0、1、2、3 …）    
答：
（1）A球與B球碰撞前瞬間的速度v₀是

2qES m

．
（2）A球與B球第一次碰撞后瞬間，A球的速度v₁大小

2qES m

，方向向左．B球的速度v₂是

2qES m

，方向向右．
（3）勁度系數k的可能取值是k=

6π2qE

S

(n+

1

2

)2（n=0、1、2、3 …）．

點評：本題是綜合性很強的題目，運用到動能定理、動量守恒、機械能守恒、運動學公式、牛頓定律，難點是抓住簡諧運動的周期性，得到A球運動時間的通項，即可求出K的可能值．