Question

如圖所示，直角坐標系xoy所決定的平面內，在平行于x軸的虛線MN上方、x＜0的區域存在著沿x軸正方向的勻強電場；在x＞0的某區域存在方向垂直于坐標平面的圓形有界勻強磁場（圖中未畫出）．現有一比荷k==10²C/kg的帶正電粒子從虛線MN上的P處，以大小υ=20m/s、方向平行于y軸的初速度射入電場，并恰好從原點O處射出，射出時的速度大小υ=40m/s，此后粒子先做勻速運動，然后進入圓形有界磁場，粒子從磁場中射出時，出射點為Q且射出時的速度方向沿y軸負方向．已知磁場的磁感應強度B=1.2T，不計粒子的重力，忽略粒子運動對電場、磁場的影響．求：
（1）粒子從O點射出時速度υ與y軸間的夾角θ．
（2）P、O兩點間的電勢差U．
（3）Q點的橫坐標x．
（4）圓形有界勻強磁場的最小面積S．

Answer 1

【答案】分析：（1）帶電粒子從P點射入電場做類平拋運動，將O點速度分解，根據分速度與合速度的關系求出夾角θ．
（2）根據動能定理求出P、O兩點間的電勢差U．
（3）粒子射出電場后先做勻速運動，然后進入圓形有界磁場，根據幾何關系確定圓心，根據軌道半徑的大小求出Q點的橫坐標．
（4）以粒子在勻強磁場中運動的軌跡的初末兩點連線為圓的直徑，該圓的面積為勻強磁場的最小面積S．
解答：解：（1）帶電粒子在勻強電場中y軸方向上做勻速直線運動，x軸方向上做勻加速直線運動，將O點的速度分解，有：
=．
解得θ=60°．
（2）根據動能定理得，
因為比荷k==10²C/kg
代入數據解得：U=6V．
（3）根據
帶電粒子在勻強磁場中的軌道半徑：R=．
根據幾何關系得：x=R+=3R=1m．
（4）以粒子在勻強磁場中運動的軌跡的初末兩點連線為圓的直徑，該圓的面積為勻強磁場的最小面積．
該圓的半徑r=Rsin60°=
則S=．
答：（1）粒子從O點射出時速度υ與y軸間的夾角θ為60°．
（2）P、O兩點間的電勢差U為6V．
（3）Q點的橫坐標x=1m．
（4）圓形有界勻強磁場的最小面積為．
點評：解決本題的關鍵知道粒子在勻強電場中做類平拋運動，進入磁場做勻速圓周運動，根據牛頓第二定律、運動學公式以及幾何關系進行求解．