Question

（2004?揚州一模）搭載有“勇氣”號火星車的美國火星探測器，于北京時間2003年6月11日凌晨1時58分成功升空，經過了206個晝夜長達4億8千萬公里漫長的星際旅行，于北京時間2004年1月4日12時35分“勇氣”號火星車終于成功登陸在火星表面．
“勇氣”號離火星地面12m時與降落傘自動脫離，被眾氣囊包裹的“勇氣”號下落到地面后又彈跳到15m高處，這樣上下碰撞了若干次后，才靜止在火星表面上．已知火星的半徑為地球半徑的二分之一，質量為地球的九分之一（取地球表面的重力加速度為10m/s²，計算結果均取二位有效數字）．
（1）根據上述數據，火星表面的重力加速度是多少？
（2）若被眾氣囊包裹的“勇氣”號第一次碰火星地面時，其機械能損失為其12m高處機械能的10%，不計空氣的阻力，求“勇氣”號在12m高處的速度．
（3）已知“勇氣”號和氣囊的總質量為200㎏，設與地面第一次碰撞時氣囊和地面的接觸時間為0.4s，求“勇氣”號和氣囊與火星碰撞時所受到的平均沖力．

Answer 1

分析：（1）在星球表面處重力等于萬有引力

GMm

R2

=mg，得g=

GM

R2

，根據火星與地球的質量比和半徑比，計算可得它們的表面重力加速度之比，從而可知火星表面的重力加速度．
（2）設探測器在12m高處向下的速度為v₀，則根據能量關系

m v 2 0

2

+mg火h1-mg火h2=0.1×(

m v 2 0

2

+mg火h1)，代入數據，計算可解得“勇氣”號在12m高處的速度v₀．
（3）設探測器與火星碰前瞬間的速度為v₁，反彈的速度為v₂，根據勻變速運動的位于與速度的關系公式有

v

2 1

=

v

2 0

+2g火h1和

v

2 2

=2g火h2．
對探測器由動量定理可得 （F-mg_火）t=mv₂-（-mv₁），解以上各式，可得碰撞時所受到的平均沖力F．

解答：解：（1）在星球表面處重力等于萬有引力

GMm

R2

=mg，
可得

g火

g地

=

M火 R 2 地

M地 R 2 火

=

4

9

，
g火=

4

9

g地=

40

9

m/s2=4.44m/s²．
（2）設探測器在12m高處向下的速度為v₀，則根據能量關系有

m v 2 0

2

+mg火h1-mg火h2=0.1×(

m v 2 0

2

+mg火h1)
代入數據，解得v₀=6.5m/s 
（3）設探測器與火星碰前瞬間的速度為v₁，反彈的速度為v₂，則根據勻變速運動的規律有

v

2 1

=

v

2 0

+2g火h1

v

2 2

=2g火h2
規定向上為正，對探測器由動量定理可得 （F-mg_火）t=mv₂-（-mv₁）
解以上各式，得 F=1.3×10⁴N  
答：（1）火星表面的重力加速度是4.44m/s²．
（2）若被眾氣囊包裹的“勇氣”號第一次碰火星地面時，其機械能損失為其12m高處機械能的10%，不計空氣的阻力，則“勇氣”號在12m高處的速度為=6.5m/s．
（3）已知“勇氣”號和氣囊的總質量為200㎏，設與地面第一次碰撞時氣囊和地面的接觸時間為0.4s，則“勇氣”號和氣囊與火星碰撞時所受到的平均沖力為1.3×10⁴N．

點評：本題把天體運動和運動學公式以及能量、動量關系結合力起來，題型新穎，對綜合能力要求較高，有一定的難度．