Question

如圖所示，一個半徑為R的半球形的碗固定在桌面上，碗口水平，O點為其球心，碗的內表面及碗口是光滑的。一根輕質細線跨在碗口上，線的兩端分別系有小球A和B，當它們處于平衡狀態時，小球A與O點的連線與水平線的夾角為60°。

（1）求小球A與小球B的質量比m_A：m_B

（2）辨析題：現將A球質量改為2m、B球質量改為m，且開始時A球位于碗口C點，由靜止沿碗下滑，當A球滑到碗底時，求兩球的速率為多大？

某同學解法如下：當A球滑到碗底時，A球下降的高度為R，B球上升的高度為R，根據機械能守恒定律有：

  ① 且     ②

代入數據，解①、②兩式即可求得兩球的速率。   

你認為上述分析是否正確？如果你認為正確，請完成此題；如果你認為不正確，請指出錯誤，并給出正確的解答。

（3）在滿足第（2）問中的條件下，求A球沿碗壁運動的最大位移是多少？

Answer 1

解：（1）設繩上拉力為T，碗對A球的彈力為N，根據對稱性可得：N=T   

由平衡條件：2Tcos30°=m_Ag    

對B球，受拉力與重力平衡得：T＝m_Bg     

聯立得：                

（2）不正確。     

A球在碗底時，不等于，應將沿繩和垂直于繩的方向分解，沿繩子方向的分速度即等于B球的速度的大小。      

即：       根據機械能守恒定律有：

     

可得：                           

(3)球A經過碗底后繼續上升，當速度減小為零時沿碗壁有最大位移，如圖所示，此時A相對碗邊緣的高度為h，則：

                   由機械能守恒有：     

聯立以上兩式可得：