Question

(16分)如圖所示，ABDO是處于豎直平面內的光滑軌道，AB是半徑R＝15m的四分之一圓周軌道，半徑OA處于水平位置，BDO是直徑為15m的半圓軌道，D為BDO軌道的中央，一個小球P從A點的正上方距水平半徑OA高H處自由落下，沿豎直平面內的軌道通過D點時對軌道的壓力等于其重力的倍，試求：

⑴高度H的大小；
⑵討論此球能否到達BDO軌道的O點，并說明理由；
⑶小球沿軌道運動后再次落到軌道上的速度的大小和方向。

Answer 1

⑴H＝10m；⑵能到達O點；⑶v＝17.3m/s，方向與水平方向成夾角θ＝arctan

試題分析：⑴設小球通過D點時的速度為v_D，此時軌道對小球的彈力提供了小球做圓周運動的向心力，根據牛頓第二定律有：＝        ①
小球從P點運動至D點的過程中，根據動能定理有：mg(H＋)＝－0         ②
由①②式聯立解得：H＝＝10m           ③
⑵設小球能沿圓軌道運動至O點，速度為v₀，根據動能定理有：mgH＝－0          ④
由③④式聯立解得：v₀＝＝m/s            ⑤
假設小球恰好通過圓軌道最高點O的速度為v_C，根據牛頓第二定律有：mg＝   
解得：v_C＝＝m/s＜m/s，所以，小球能夠到達BDO軌道的O點
⑶小球通過O點后做平拋運動，設經過時間t落到AB圓弧軌道上，根據平拋運動規律可知，小球在水平方向通過的位移為：x＝v₀t         ⑥
在豎直方向通過的位移為：y＝          ⑦
顯然x、y滿足圓軌跡方程：x²＋y²＝R²            ⑧
由⑤⑥⑦⑧式聯立，并代入數據解得：t＝1s 
所以小球再次落到軌道上的速度大小為：v＝＝m/s＝17.3m/s
方向與水平方向間的夾角為：θ＝arctan＝arctan