Question

【題目】如甲圖所示，光滑軌道由三部分組成。左邊是傾角的斜面，右邊是半圓，中間為足夠長的水平面。斜面與水平面平滑連接，水平面與半圓相切，切點為M。現有10個相同的小球，半徑為r、質量為m，這些小球恰可占滿右邊圓軌道(最外端的兩個小球恰能同時與圓軌道直徑相切，如乙圖所示)。己知 ，重力加速度大小為g。現將10個小球依次放在斜面上，最下面的小球a的球心距地面高設為H， 同時釋放所有小球后，求：

⑴若H己知，a小球剛到水平面時的速率；

⑵若H已知，a小球剛到M點時對圓軌道的壓力；

⑶若a小球從圓軌道最高點拋出，落點與M點相距L，則H應為多少。

Answer 1

【答案】（1），（2），（3）

【解析】試題分析：（1）對a小球從靜止運動到水平面的過程應用機械能守恒求解；（2）由幾何關系求得圓軌道半徑，然后對a小球在M點應用牛頓第二定律求得支持力，即可由牛頓第三定律求得壓力；（3）由平拋運動規律求得在最高點的速度，然后由動能定理求解．

（1）從釋放所有小球到a小球剛到水平面，選地面為參考平面

根據機械能守恒定律有：

解得：a小球剛到水平面時的速度

（2）從釋放所有小球到a小球到達M點，選地面為參考平面，根據機械能守恒有：

解得：

設圓軌道的半徑為R，由幾何關系得：

解得：圓軌道半徑

在M點，由牛頓第二定律得：

解得：

由牛頓第三定律可知a小球剛到M點時對圓軌道的壓力為

（3）a小球做平拋運動，設平拋的水平初速度為，由平拋運動規律得：

豎直方向有：

水平方向有：

聯立得：

從釋放所有小球到a小球達到最高點，選地面為參考平面，根據機械能守恒有：

解得：