Question

如圖所示，傾斜的金屬導軌和水平的金屬導軌接在一起，各自的兩條平行軌道之間距離都為d，傾斜導軌與水平面間的夾角為30°，在傾斜導軌的區域有垂直于軌道平面斜向上的勻強磁場，在水平導軌的區域有豎直向上的勻強磁場，磁感應強度大小都為B，傾斜導軌上放有金屬棒a，在緊靠兩導軌連接處的水平導軌上放有金屬棒b，a、b都垂直于各自的軌道，質量均為m，a、b與水平的金屬導軌間的動摩擦因數是μ，傾斜的金屬導軌光滑。傾斜軌道間接有電阻R，a、b的電阻值都是R，其余電阻不計。

開始時a固定，b靜止，且a距水平導軌平面的高度為h，現釋放a，同時給a一個平行于傾斜導軌向下的初速度，a就在傾斜導軌上做勻速運動，經過兩導軌的連接處時速度大小不變，在此過程中b仍然靜止，滑上水平導軌后即與b金屬棒粘在一起在水平導軌上運動距離L后靜止。求：
(1)在傾斜導軌上勻速運動的速度v₀大小。
(2)a在傾斜導軌上運動的過程中，電阻R上產生的熱量Q₁是多大?
(3)a、b一起在水平導軌上運動的過程中，電阻R上產生的熱量Q₂是多大?

Answer 1

(1)  （2）      (3)－μmgL

(1)設在傾斜導軌上運動的過程中，感應電動勢為E，其中的電流強度為I_a，受到的磁場力為F，則
E＝Bdv₀ R_總＝R
I_a＝E/R_總 I_a＝
F＝BI_ad  F＝
由于a在傾斜導軌上做勻速運動，所以所受的合外力為零，則：
F＝mgsin30°
解得：v₀＝
(2)a在傾斜導軌上運動的過程中，設a、b和電阻R中的電流強度分別是I_a、I_b和I_R，產生的熱量分別是Q_a、Q_b和Q₁，則
I_a＝2I_R I_b＝I_R
由：Q＝I²Rt得
Q_a＝4Q₁   Q_b＝Q₁
根據能量守恒有：mgh＝Q_a＋Q_b＋Q₁
Q₁＝mgh
或解：a在傾斜導軌上運動的過程中，設電阻R中的電流強度是I_R，滑動時間為t，則I_R＝I_a I_R＝
t＝
Q₁＝
解得：Q₁＝mgh
(3)設a、b粘在一起的共同速度為v，由動量守恒定律則有：
mv₀＝2mv
ab在水平軌道上運動過程，克服摩擦力做功W，則
W＝μ·2mg·L
設電流流過ab產生的熱量共為Q_ab，則有：
R_ab＝R，Q_ab＝Q₂
根據能量守恒定律得：
·2mv²=Q₂+Q_ab＋W
解得：Q₂＝μmgl