Question

如圖所示，半徑為r，質量不計的圓盤盤面與地面相垂直，圓心處有一個垂直盤面的光滑水平固定軸O，在盤的最右邊緣固定一個質量為m的小球A，在O點的正下方離O點r/2處固定一個質量也為m的小球B．放開盤讓其自由轉動，問：
（1）當A球轉到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？
（2）A球轉到最低點時的線速度是多少？
（3）在轉動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是多少？

Answer 1

分析：（1）重力勢能的變化量等于重力做功的數值．A球的重力勢能減小，B的重力勢能增加．
（2）兩球組成的系統，在轉動過程中，只有重力做功，機械能守恒．兩小球的角速度相等，應用機械能守恒定律或動能定理可以求出小球轉到最低點時的線速度．
（3）在OA向左偏離豎直方向偏角最大時，小球速度為零，由機械能守恒定律可以求出最大偏角．

解答：解：（1）當A球轉到最低點時，A的重力勢能減小mgr，B的重力勢能增加mg

r

2

，所以兩小球的重力勢能之和減少為△E_P=mgr-mg

r

2

=

1

2

mgr
（2）取圓盤最低處的水平面勢能為零，
由機械能守恒定律可得：mgr=mg

r

2

+

1

2

m（ωr）²+

1

2

m（ω×

r

2

）²，
又 v_A=ωR，
解得v_A=

0.8gr

（3）設 OA向左偏離豎直方向的最大角度是θ，
由系統機械能守恒定律 得
  mgr×cosθ-mg

r

2

×（1+sinθ ）=0
得 2cosθ=1+sinθ，
4（1-sin2θ）=1+2sinθ+sin2θ，
5sin2θ+2sinθ-3=0
sinθ=0.6
∴θ=37°
答：
（1）當A球轉到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了

1

2

mgr．
（2）A球轉到最低點時的線速度是

0.8gr

．
（3）在轉動過程中半徑OA向左偏離豎直方向的最大角度是37°．

點評：應用機械能守恒定律即可正確解題，應用數學知識解決物理問題是本題的難點，要注意數學知識的應用．