Question

【題目】如圖所示，豎直固定的足夠長玻璃管中有一個活塞，勁度系數為k=10N/m的彈簧將一質量為m=0.lkg的小球與活塞連在一起。彈簧處于自然長度時，將小球由靜止釋放。已知彈簧的彈性勢能Ep=(式中k為彈簧的勁度系數，x為彈簧的形變量，取彈簧處于原長時的彈性勢能為0)，活塞與玻璃管壁之間的最大靜摩擦力f=1.2N，活塞與彈簧的質量均可忽略不計，假設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力，取g=10m/s2，求

(1)彈簧的最大伸長量；

(2)小球的最大速度；

(3)從開始到活塞停止運動的過程中，活塞與管壁摩擦產生的熱量。

Answer 1

【答案】（1）0.12m；（2）1m/s（3）0.288J

【解析】

小球第一次運動到最低點的過程可以分為三個階段．第一個過程是小球向下加速運動，由于彈簧彈力（向上）不斷增加，當彈力等于重力時速度最大，根據動能定理可以計算出小球最大速度，此時彈力小于塞子最大靜摩擦力，不能拉動塞子．第二個過程是小球向下減速運動（彈力大于重力） 當彈力等于1.2N時塞子被拉動．塞子立刻達到與小球同速（加速不需時間第三個過程是塞子質量不計，加速度無窮大），此時速度即塞子最大速度，由于塞子小球此時同速，彈簧不再伸長，整個系統向下做減速運動直至為零．

（1，2）當彈力等于重力時速度最大，此時有；mg=kx，解得：x=0.1m
根據動能定理有：（mg-kx）x=mv2
解得：v=1m/s
所以小球的最大速度是1m/s；
此時彈力小于塞子最大靜摩擦力，不能拉動塞子。
小球繼續向下減速運動（彈力大于重力） 當彈力等于1.2N時塞子被拉動，此時彈簧處于最大伸長量，kx′=1.2N
解得：x′=0.12m；
（3）當彈力等于1.2N時塞子被拉動。塞子立刻達到與小球同速（加速不需時間第三個過程是塞子質量不計，加速度無窮大），此時速度即塞子最大速度，根據根據動能定理有：

（mg-kx′）x′=mv′2
解得：v′=m/s；

整個系統向下做減速運動直至為零，根據動能定理得：mgs-Ffs=0-mv′2
解得：s=0.24m
則產生的熱量：Q=Ffs=0.288J