Question

如圖所示，在直角坐標系 xoy 的第一象限內存在沿 y 軸負方向、場強為 E 的勻強電場，在第四象限內存在垂直紙面向外、磁感應強度為 B 的勻強磁場，在磁場與電場分界線的 x 軸上有一無限大的薄隔離層．一質量為 m、電量為+q、初速度為零的帶電粒子，從坐標為（ x ₀，y ₀）的 P 點開始被電場加速，經隔離層垂直進入磁場，粒子每次穿越隔離層的時間極短，且運動方向不變，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k＜1）．不計帶電粒子所受重力．求：
（1）帶電粒子第一次穿越隔離層進入磁場做圓周運動的半徑 R ₁；
（2）帶電粒子第二次穿越隔離層進入電場達到最高點的縱坐標  y₁；
（3）從開始到第三次穿越隔離層所用的總時間  t；
（4）若帶電粒子第四次穿越隔離層時剛好到達坐標原點 O，則 P 點橫坐標 x₀與縱坐標 y₀應滿足的關系．

Answer 1

（1）第一次到達隔離層時速度為v₀
qEy_o=

1

2

mv_o²，v₀=

2qEy0 m

第一次穿越隔離層后速度為v₁=k

2qEy0 m

由qv₁B=m

v12

R1

，得第一次在磁場中做圓周運動半徑為 R₁=

mv1

qB

=

2k2mEy0 qB2

（2）第二次穿越隔離層后速度為v₂=k²

2qEy0 m

-qEy₁=0-

1

2

mv₂²，得y₁=k⁴y₀
（3）由y_o=

1

2

qE

m

t₀²，得第一次到達隔離層的時間為 t₀=

2my0 qE

圓周運動的周期T=

2πm

qB

第一次在磁場中做圓周運動時間為 t₁=

T

2

=

πm

qB

第二次穿越隔離層后到達最高點時間為 t₂=

v2

a

=k ²

2my0 qE

從開始到第三次穿越隔離層所用總時間
t=t₀+t₁+2t₂=（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

（4）第三次穿越隔離層后的速度為v ₃=k ³

2qEy0 m

第二次在磁場中做圓周運動半徑為R₂=

2k6mEy0 qB2

x₀=2R₁+2R₂=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

答：（1）帶電粒子第一次穿越隔離層進入磁場做圓周運動的半徑為

2k2mEy0 qB2

．
（2）帶電粒子第二次穿越隔離層進入電場達到最高點的縱坐標y₁=k⁴y₀
（3）從開始到第三次穿越隔離層所用的總時間為（1+2 k²）

2y0m qE

+

πm

qB

．
（4）P 點橫坐標 x₀與縱坐標 y₀應滿足的關系為：x₀=（ 2 k+2 k ³）

2mEy0 qB2

．