Question

航天宇航員在月球表面完成了如下實驗：如圖所示，在月球表面固定一豎直光滑圓形軌道，在軌道內的最低點，放一可視為質點的小球，當給小球水平初速度v₀時，小球剛好能在豎直面內做完整的圓周運動．已知引力常量為G，圓形軌道半徑為r，月球的半徑為R．求：
（1）月球表面的重力加速度g；
（2）月球的質量M；
（3）若在月球表面上發射一顆環月衛星，其最小發射速度．

Answer 1

分析：（1）小球從圓軌道最低點到最高點過程中，只有月球的引力做負功，由動能定理求得到達最高點的速度，而此刻速度滿足月亮的引力提u供其沿圓周運動的向心力，由牛頓第二定律列方程，即可求得月球表面的重力加速度
（2）由月球表面的物體的重力約等于物體與月亮的萬有引力可得月球的質量
（3）在月球表面上發射衛星的條件是，衛星的速度滿足萬有引力提供勻速圓周運動的向心力，由牛頓第二定律列方程即可

解答：解：（1）設小球的質量為m，月球的質量為M，因小球在最高點恰好完成圓周運動，設最高點時小球速度為v，由牛頓第二定律得：
mg=

mv2

r

①
從最低點帶最高點過程中，由動能定理得：
-mg×2r=

1

2

mv²-

1

2

mv

2 0

②
由①②得g=

v 2 0

5r

③
（2）對于任一月球表面的物體m′，萬有引力等于其重力，即：
m′g=

GMm′

R2

④
由③④得，M=

R2v 2 0

5Gr

⑤
（3）發射一顆環月衛星，設其質量為m₁，其最小發射速度v₁，則有：
m₁g=

mv 2 1

R

⑥
聯立③⑥得，

v0 5Rr

5r

答（1）月球表面的重力加速度g=

v 2 0

5r

（2）月球的質量M=

R2v 2 0

5Gr

（3）最小發射速度v₁=

v0 5Rr

5r

點評：在任意星體的表面都有物體的萬有引力等于重力這一等式常用，所謂第一宇宙速度即是萬有引力恰提供其繞星球表面運行的向心力時的速度，此時軌道半徑就是星球的半徑