Question

【題目】如圖所示，有一磁感應強度大小為B的水平勻強磁場，其上下水平邊界的間距為H；磁場的正上方有一長方形導線框，其長和寬分別為L、d（d＜H），質量為m，電阻為R．現將線框從其下邊緣與磁場上邊界間的距離為h處由靜止釋放，測得線框進入磁場的過程所用的時間為t．線框平面始終與磁場方向垂直，線框上下邊始終保持水平，重力加速度為g．求：

（1）線框下邊緣剛進入磁場時線框中感應電流的大小和方向；
（2）線框的上邊緣剛進磁場時線框的速率v1；
（3）線框下邊緣剛進入磁場到下邊緣剛離開磁場的全過程中產生的總焦耳熱Q．

Answer 1

【答案】
（1）解：線框由靜止釋放到下邊緣剛進入磁場的過程，做自由落體運動，有：v= ，

即線框下邊緣剛進入磁場的速率為：v0= ，

線框下邊緣切割磁感線產生的感應電動勢為：E=BLv0，

感應電流的大小為：I= = ，

根據右手定則判斷知，線框中感應電流的方向沿逆時針方向．

答：線框下邊緣剛進入磁場時線框中感應電流的大小為 ，方向逆時針；

（2）在線框下邊緣剛進入磁場到上邊緣剛進入磁場的過程中，

根據微元法，取一小段時間△t，時間內速度的減少量為△v，

由動量定理可得：（mg﹣BIL）△t=m△v，即mg△t﹣BIL△t=m△v

在時間△t內，通過線框某一橫截面的電荷量為：△q=I△t

對mg△t﹣BIL△t=m△v兩邊求和得：mgt﹣BLq=m（v1﹣v0）

根據法拉第電磁感應定律有： =

根據閉合電路歐姆定律有： =

在時間t內，通過線框某一橫截面的電荷量為：q=

解得v1=gt+ ﹣

答：線框的上邊緣剛進磁場時線框的速率為gt+ ﹣ ；

（3）在線框下邊緣剛進入磁場到下邊緣剛離開磁場的全過程中，線框進入磁場的過程中才有焦耳熱產生，根據能量守恒定律有：

+mgd= +Q，

解得：Q= +mgd﹣ =mg（h+d）﹣ m（gt+ ﹣ ）2．

答：線框下邊緣剛進入磁場到下邊緣剛離開磁場的全過程中產生的總焦耳熱Q為mg（h+d）﹣ m（gt+ ﹣ ）2．

【解析】（1）先根據自由落體運動求出物體的速度，根據E=BLv0即可求出感應電動勢，進而求感應電流．根據右手定則判斷電流的方向．
（2）線圈進入磁場的過程中，加速度變化，根據動量定理列式，有（mg-BIL）△t=m△v，對此式兩邊求和，根據電流的定義式，可求得時間t內，通過線框某一橫截面的電荷量．結合各式可求；
（3）線圈完全處于磁場中時，穿過閉合回路的磁通量不變 沒有感應電流，不產生電熱，由能量守恒線圈進入動能和重力勢能之和等于穿出磁場時動能和熱量之和，可求出Q．

【考點精析】掌握動量定理和電磁感應與電路是解答本題的根本，需要知道動量定理的研究對象可以是單個物體，也可以是物體系統.對物體系統，只需分析系統受的外力，不必考慮系統內力.系統內力的作用不改變整個系統的總動量；動量定理不僅適用于恒定的力，也適用于隨時間變化的力.對于變力，動量定理中的力F應當理解為變力在作用時間內的平均值；用法拉第電磁感應定律和楞次定律確定感應電動勢的大小和方向；畫等效電路；運用全電路歐姆定律，串并聯電路性質，電功率等公式聯立求解．