Question

如圖所示，在豎直平面內，AB是半徑為R的四分之一光滑絕緣圓弧，帶電量為+q，質量為m的小球從圓弧上A點由靜止開始下滑，通過粗糙絕緣水平面BC向右運動到達C孔，進入半徑為r的光滑絕緣圓軌道，小球進入圓軌道后，C孔立即關閉，軌道BCDE處于電場強度為E的豎直向下勻強電場中．已知：R=10r，E_q=mg，μ=

1

6

，

.

BC

=L=6r，g=10m/s²．要求：
（1）小球到達B點時的速度大小；
（2）小球運動到F點時，軌道對小球的壓力大小；
（3）若小球在AB圓弧內從距水平面高為h的某點P由靜止釋放，從C點進入圓軌道后不脫離軌道，試求h的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據機械能守恒定律求出小球到達B點時的速度大小．
（2）對A到F的過程運用動能定理，求出小球到達F點的速度，根據牛頓第二定律求出壓力的大小．
（3）要使小球進入圓軌道后不脫離軌道，關于h的取值，有兩種情形：一種是小球剛好運動到D點速度為零，另一種情形是剛好通過F點，結合動能定理和牛頓第二定律求出h的范圍．

解答：解：（1）小球從A到B，由機械能守恒得：mgR=

1

2

mvB2-0．
得：vB=

2gR

=2

5gr

．
（2）小球從A到F，由動能定理得：
mgR-mg?2r-qE?2r-μ(mg+qE)L=

1

2

mvF2-0．
解得：vF2=8gr．
在F處，對小球：NF+mg+qE=m

vF2

r

．
解得：N_F=6mg．
（3）要使小球進入圓軌道后不脫離軌道，關于h的取值，有兩種情形：
①小球剛好能運動到D點，即：v_D=0．
小球從P到D，由動能定理得：
mgh-mgr-qEr-μ（mg+qE）L=

1

2

mvD2-0
得：h=4r．
小球剛好能運動到C點，即：v_C=0．
小球從P到C，由動能定理得：
mgh-μ(mg+qE)L=

1

2

mvC2
得：h=2r．
在2r≤h≤4r范圍內，小球不脫離圓軌道．
②小球剛好能運動到F點，在F點：N_F=0
即：mg+qE=m

vF2

r

   
得：vF2=2gr．
小球從P到F，由動能定理得：
mgh-mg?2r-qE?2r-μ（mg+qE）L=

1

2

mvF2-0
得：h=7r
所以：在7r≤h≤10r范圍內，小球不脫離圓軌道．
答：（1）小球到達B點時的速度大小為2

5gr

．
（2）小球運動到F點時，軌道對小球的壓力大小為6mg．
（3）h的取值范圍為2r≤h≤4r或7r≤h≤10r．

點評：本題考查了動能定理、機械能守恒定律和牛頓第二定律的綜合，知道小球不脫離軌道的臨界情況，結合牛頓第二定律和動能定理進行求解．