Question

如圖所示，某小同學作滑板表演．該同學連同滑板質量為m=30kg（可視為質點），從傾角為37°的斜坡上的A點由靜止開始下滑，在B點沿圓弧切線進入豎直光滑圓弧軌道．并從C點離開圓軌道騰空飛出，恰好在騰空后運動軌跡的最高點登上右側平臺．B、C為圓弧軌道的兩端點，其連線水平．已知平臺高h=0.8m，圓弧軌道半徑為R=1.0m，斜坡與滑板間的動擦因數是0.25．不計空氣阻力（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），試求：
（1）小同學登上平臺時的速度；
（2）滑板在圓弧軌道最低點受到軌道的作用力大小；
（3）A、B兩點間的距離．（結果保留三位有效數字）

Answer 1

分析：（1）該同學從C點離開圓軌道騰空飛出，恰好在騰空后運動軌跡的最高點登上右側平臺，此過程是斜上拋運動，其逆過程是平拋運動，根據高度h，由豎直方向上是自由落體運動，即可求出經過C點時豎直方向的分速度．經過C點時，該同學的速度與水平方向的夾角為37°，根據速度的分解，即可求出經過C點時水平分速度，即為小同學登上平臺時的速度；
（2）由速度的合成可求出C點的速度．從B到圓弧軌道最低點的過程，機械能守恒，求出到達最低點時的速度大小，由牛頓第二定律即可求解圓弧軌道對滑板對支持力；
（3）A到B過程，運用動能定理求解A、B兩點間的距離．

解答：解：（1）從C騰空飛出平臺的過程可逆向看作平拋運動，在C點：y豎直方向的分速度為v_y，水平方向分速度為_x．則有

v

2 y

=2gh  ①
  又tan37°=

vy

vx

  ②
解得 v_x=

16

3

≈5.33m/s，即為登上平臺的速度．
（2）由sin37°=

vy

vC

得，v_C=

20

3

m/s
從最低點到C點的過程，由機械能守恒得
 

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 C

+mgR（1-cos37°）
在最低點：N-mg=m

v2

R

解得，N=1.75×10³N
（3）由于機械能守恒，則有v_B=v_C
從A到B，由動能定理得
  （mgsin37°-μmgcos37°）L=

1

2

m

v

2 B

解得L≈5.56m
答：
（1）小同學登上平臺時的速度是5.33m/s；
（2）滑板在圓弧軌道最低點受到軌道的作用力大小是1.75×10³N；
（3）A、B兩點間的距離是5.56m．

點評：本題主要考查了平拋運動、動能定理及機械能守恒、牛頓運動定律等基本規律的應用，關鍵是巧用逆向思維求出速度．