Question

在平面直角坐標系xoy中，有一質量為m、電荷量為q的帶正電點電荷正從原點O沿y軸正方向以初速度v₀出發，電荷重力不計，試在電荷運動的空間內加上一個電場，使該點電荷能通過第一象限的已知點P（a，b）（P點坐標a、b為已知量），且使電荷在P點的動能和電荷在原點O的初動能相等．要求所加電場盡可能簡單、常規，電荷的運動也盡可能簡單．請設計出一種解決方案，求出這種方案中，原點O處的場強大小．

Answer 1

分析：在空間放置一個點電荷，可以使得運動的電荷做勻速圓周運動經過P點，根據幾何關系求出軌道半徑，通過牛頓第二定律，根據庫侖引力提供向心力求出點電荷的電量．也可以利用斜拋運動知識設計方案．

解答：解：方案一：利用位于x軸上（r，0）點處帶負電荷Q產生的電場，使粒子做勻速圓周運動到達P點（見圖甲），電荷Q位于圓心Oˊ處（r，0）設OˊP與x軸成角，則：
r+rcosα=a…①
rsinα=b…②
由①②式得：r=

a2+b2

2a

… ③
又qE₁=m

v 2 0

r

  ④
由③④解得：E₁=

2m v 2 0 a

q(a2+b2)

方案二：利用一與OP垂直的斜向下的勻強電場E₂在統一等勢面上，使粒子做拋體運動到達P點（見圖乙）
設OP長為r，將電荷的運動分解OPˊ在和垂直于OP的方向上
  v₀sinβ?t=r
  0-v₀cosβ=-

qE2

m

?

t

2

注意到sinβ=

b

r

?cosβ=

a

r

 r=

a2+b2

解得：E₂=

2m v 2 0 ab

q (a2+b2)3

答：設計方案見上，原點O處的場強大小為

2m v 2 0 a

q(a2+b2)

或

2m v 2 0 ab

q (a2+b2)3

．

點評：本題是開放題，需要選擇簡單、常規的方案，對學生的能力要求較高，是一道開發思維的好題．