Question

（2009?楊浦區模擬）如圖所示，空間存在著一個范圍足夠大的豎直向下的勻強磁場區域，磁場的磁感強度大小為B=0.6T．邊長為L=0.5m的正方形金屬框abcd（以下簡稱方框）被固定在光滑的絕緣水平面上，其外側套著一個質量為m=0.4kg、與方框邊長相同的U型金屬框架MNPQ（以下簡稱U型框），U型框與方框之間接觸良好且無摩擦．NP、bc、ad三邊的電阻均為r=0.2Ω，其余部分電阻不計．U型框從圖示位置開始以初速度v₀=1.2m/s向右以a=-1.5m/s²作勻變速運動．問：．
（1）開始時流過U型框的電流大小和方向如何？
（2）開始時方框上ad邊的熱功率多大？
（3）當U型框NP邊與方框bc邊間的距離為0.29m時作用在U型框上的外力大小和方向如何？

Answer 1

分析：（1）U型框向右做切割磁感線運動，由E=BLv₀、歐姆定律求感應電流的大小．由右手定則判斷感應電流方向．
（2）NP相當于電源，bc與ad組成一個并聯的外電路，通過ad的電流等于NP電流的一半，即可由公式P=I²R求ad邊的熱功率．
（3）因U型框做勻減速運動，由運動學公式求得此時的速度，由法拉第定律求得感應電動勢，由歐姆定律求得感應電流，由F=BIL求出U型框所受的安培力，即可由牛頓第二定律求得外力的大小，判斷出方向．求解時要注意線框可能向右運動，也可能向左運動．

解答：解：（1）開始時線框產生的感應電動勢為E=BLv₀=0.6×0.5×1.2V=0.36V         
回路總電阻R_總=r+

r

2

=0.3Ω                           
回路總電流I總=

E

R總

=

0.36

0.3

A=1.2A                       
由右手定則判斷得知：流過U型框的電流方向Q→P→N→M．           
（2）流過ad的電流大小 I_ad=

1

2

I_總=0.6A          
所以ad邊的熱功率為P_ad=

I

2 ad

r=0.6²×0.2W=0.072W      
（3）設U型框運動到位移x時速度為v_t，則根據運動學公式有
   v=

v 2 0 -2ax

此時感應電動勢 E=BLv=BL

v 2 0 -2ax

感應電流 I=

E

R總

=

BL v 2 0 -2ax

R總

經過此位置時的安培力大小：F_A=BIL=

B2L2 v 2 0 -2ax

R總

由于U型框作勻變速運動，當它向右經過此位置時，有
   F+F_A=ma
得 F=ma-F_A=ma-

B2L2 v 2 0 -2ax

R總

代入解得，F=0.33N，方向向左；
當它向右經過此位置時，有
  F-F_A=ma
則得F=ma+F_A=ma+

B2L2 v 2 0 -2ax

R總

代入解得F=0.87N，方向向左．
答：
（1）開始時流過U型框的電流大小是1.2A，方向為Q→P→N→M．
（2）開始時方框上ad邊的熱功率是0.072W．
（3）當U型框NP邊與方框bc邊間的距離為0.29m時：當它向右經過此位置時，外力大小為0.33N，方向向左；當它向左經過此位置時，外力大小為0.87N，方向向左．

點評：本題是電磁感應與電路、力學知識的綜合，關鍵要判斷出線框的運動方向可能向右，也可能向左，會根據法拉第定律、歐姆定律推導出安培力表達式．